【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，P为右准线上一点．点Q在椭圆上，且FQ⊥FP．

（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．
①求椭圆的方程；
②若直线OQ，PQ的斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂的值．
（2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．

【推荐2】平面直角坐标系中，已知点M（，1）和点N（，）都在椭圆C：上.

（1）求椭圆C的方程及其离心率e；
（2）已知O是坐标系原点，一条直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴正半轴交于点P，令.试问：是否存在定点P，使得t为定值.若存在，求出点P的坐标和t的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.的最大值是，的最小值是，满足.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.

【推荐1】已知过点，的双曲线的右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过点的直线交双曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.

【推荐2】已知椭圆的中心在坐标原点，其焦点与双曲线的焦点重合，且椭圆的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过双曲线的右顶点作直线与椭圆交于不同的两点.
①设，当为定值时，求的值；
②设点是椭圆上的一点，满足，记的面积为的面积为，求的取值范围.

【推荐3】已知双曲线，是双曲线上一点．
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；

【推荐1】已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．
(1)设O为坐标原点，求线段OP的长度；
(2)求证：PF平分．

【推荐2】在平面直角坐标系中，对于直线和点，，记，若，则称点，被直线l分离，若曲线c与直线l没有公共点，且曲线c上存在点，被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线．
（1）求证：点，被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

【推荐3】已知等轴双曲线      的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)设的面积分别为，求的取值范围.

【推荐1】已知点在双曲线上，双曲线的离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线交双曲线于不同于点的两点，直线和直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知平面内动点与两定点，连线的斜率之积为3．
(1)求动点的轨迹的方程：
(2)过点的直线与轨迹交于，两点，点，均在轴右侧，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点横坐标为定值．

【推荐3】已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．

(1)求双曲线的标准方程．
(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．

①求证：为定值；

②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标．