【推荐1】已知函数，对于任意，恒成立，则整数a的最大值为___________.

【推荐2】若，则的值为______．

【推荐3】若实数，满足，则的最大值为_______________．

【推荐1】设函数，，则函数的最大值为_______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是_________.

【推荐2】在同一直角坐标系中，分别是函数和图象上的动点，若对于任意.都有恒成立.则实数的最大值为__________.

【推荐3】已知函数有三个不同的零点且，若则的值为_________．(注：题中为自然对数的底数，即)

【推荐1】已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为________．

【推荐2】已知点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则线段长度的最大值为_________.

【推荐3】已知，为实数，代数式的最小值是______.

【推荐1】已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________.

【推荐2】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则的最大值是______；若为正三角形，则其边长为______．

【推荐3】古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为____________．