【推荐1】已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.

【推荐2】已知圆，动圆P与圆M内切，且经过定点．设圆心P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若，过点的直线l与曲线Γ交于M，N两点，连接分别交y轴于P、Q．试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P．
(1)求动点P的轨迹的方程；
(2)设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点．

【推荐1】如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于第一象限的点，且，过点（不同于焦点F）的直线与抛物线E交于A，B，过A作抛物线的切线交y轴于M，过B作的平行线交y轴于N．

(1)求抛物线方程及直线的斜率；
(2)记为与y轴围成三角形的面积，是否存在实数使，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线l与E相切于点A.
(1)当，时，求E的方程；
(2)若直线与l平行，与E交于B，C两点，且，设点F到的距离为，到l的距离为，试问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

【推荐3】已知抛物线E：（）上一点Q到其焦点的距离为.
(1)求抛物线E的方程，
(2)设点P在抛物线E上，且，过P作圆C：的两条切线，分别与抛物线E交于点M，N（M，N两点均异于P）.证明：直线MN经过R.

【推荐1】已知点在椭圆：（）上，且点到左焦点的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，与直线平行的直线交椭圆于不同两点、，求面积的最大值.

【推荐2】已知抛物线C₁：与椭圆C₂：（）有公共的焦点，C₂的左､右焦点分别为F₁，F₂，该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C₂的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C₂顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF₁Q与∠PF₁R互为补角，求△F₁QR面积S的最大值.

【推荐3】已知椭圆：的离心率为且与双曲线：有共同焦点.
（1）求椭圆的方程.
（2）在椭圆落在第一象限的图象上任取一点作的切线，求与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.
（3）设椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆上的一点作轴的垂线交轴于点，若点满足，，连结交于点，求证：.

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是椭圆上的一点，当时，的面积为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.

【推荐2】给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且轴，求的取值范围；
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点P作两条直线，，使得，与椭圆C都只有一个公共点，且，分别与椭圆的“准圆”交于M，N两点．证明：直线MN过原点O．

【推荐3】已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，直线与椭圆交于，两点，若点在第一象限，且，求面积的最大值.