【推荐1】已知函数，
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求整数的最小值．

【推荐2】设函数.
(1)试讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.

【推荐3】已知函数，其中.
(1)若定义在上的函数满足，求的单调区间；
(2)证明：有唯一极值点，且.

【推荐1】设函数．
（1）求的单调区间与极值；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）证明当时，．

【推荐2】已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若（为给定的常数，且），记在区间上的最小值为，求证：.

【推荐3】已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：，在上恒成立.

【推荐1】对于个实数构成的集合，记.
已知由个正整数构成的集合（）满足：对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.
（1）试求，的值；
（2）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；
（3）若，求证：的最小值为；并求取最小值时，的最大值.

【推荐2】已知函数，且存在，使得，设，，，．
（Ⅰ）证明单调递增；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）记，其前项和为，求证：．

【推荐3】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前项和为，点在二次函数的图象上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知（），是关于的次多项式；
（1）若恒成立，求和的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，，，…，，使得．

【推荐2】f（n）定义在正整数集合上，且满足f（1）=2，f（n+1）=（f（n））²－f（n）+1，n =1，2，3，…． 求证；对所有整数n>1，1－＜

【推荐3】相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数：第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．

(1)求第3行和第4行的通项公式和；
(2)一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
(3)若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．