1 . 对于某些三角形,我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积,下面我们研究一种求面积的新方法:如图1所示,分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线、,、之间的距离d叫做水平宽;如图1所示,过点B作水平线的铅垂线交于点D,称线段的长叫做这个三角形的铅垂高;结论提炼:容易证明,“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”,即“”.
尝试应用:
已知:如图2,点、、,则的水平宽为______,铅垂高为______,所以的面积为______.
学以致用:
如图3,在平面直角坐标系中,抛物线的解析式为:,点B为抛物线的顶点,图象与y轴交于点A,与x轴交于E、C两点,为的铅垂高,延长交x轴于点F,则顶点B坐标为______,铅垂高______,的面积为______.
尝试应用:
已知:如图2,点、、,则的水平宽为______,铅垂高为______,所以的面积为______.
学以致用:
如图3,在平面直角坐标系中,抛物线的解析式为:,点B为抛物线的顶点,图象与y轴交于点A,与x轴交于E、C两点,为的铅垂高,延长交x轴于点F,则顶点B坐标为______,铅垂高______,的面积为______.
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2 . 综合与探究
如图,抛物线的顶点为与轴交于和两点,交轴于点.
(2)如图1,点是直线上方的抛物线上的动点,当面积最大时,求点的横坐标;
(3)如图2,若点是坐标轴上一点,点为平面内一点,是否存在这样的点,使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形?若存在,请直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由.
如图,抛物线的顶点为与轴交于和两点,交轴于点.
(1)求抛物线的函数表达式及点、、的坐标;
(2)如图1,点是直线上方的抛物线上的动点,当面积最大时,求点的横坐标;
(3)如图2,若点是坐标轴上一点,点为平面内一点,是否存在这样的点,使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形?若存在,请直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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3 . 如图,抛物线经过两点,与y轴交于点C,点为抛物线上第一象限内的一个动点.
(1)求抛物线所对应的函数表达式;
(2)当的面积为4时,求点D的坐标;
(3)该抛物线上是否存在点D,使得,若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线所对应的函数表达式;
(2)当的面积为4时,求点D的坐标;
(3)该抛物线上是否存在点D,使得,若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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4 . 抛物线交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于点C,对称轴为直线.
(1)如图1,若点C坐标为,则_______,_________;
(2)若点P为第二象限抛物线上一动点,在(1)的条件下,求四边形面积最大时,点P坐标和四边形的最大面积;
(3)如图2,点D为抛物线的顶点,过点O作别交抛物线于点M,N,当时,求c的值.
(1)如图1,若点C坐标为,则_______,_________;
(2)若点P为第二象限抛物线上一动点,在(1)的条件下,求四边形面积最大时,点P坐标和四边形的最大面积;
(3)如图2,点D为抛物线的顶点,过点O作别交抛物线于点M,N,当时,求c的值.
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2022-05-18更新
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622次组卷
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3卷引用:2022年云南省昆明市官渡区九年级二模数学试卷
5 . 如图,抛物线的对称轴为,抛物线与x轴交于、B两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在下方的抛物线上,且,求点的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使是直角三角形?若存在,求出符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在下方的抛物线上,且,求点的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使是直角三角形?若存在,求出符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
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6 . 如图,已知二次函数的图象交轴于点,交y轴于点C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点是直线下方抛物线上的一动点,求面积的最大值;
(3)直线(不经过点)分别交直线和抛物线于点,当是等腰三角形时,直接写出的值.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点是直线下方抛物线上的一动点,求面积的最大值;
(3)直线(不经过点)分别交直线和抛物线于点,当是等腰三角形时,直接写出的值.
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7 . 已知直线与x轴交于点A,过x轴上A,C两点的抛物线与y轴交于点B,与直线交于D且,(1)直接写出A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点,当的周长最小时,求的面积;
(4)点P是抛物线上一动点(点P不与B,C重合),连接,若的面积等于3,求点P的坐标.
(2)求抛物线的解析式;
(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点,当的周长最小时,求的面积;
(4)点P是抛物线上一动点(点P不与B,C重合),连接,若的面积等于3,求点P的坐标.
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8 . 如图,抛物线与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0),与y轴交于点C(0,4)(1)求抛物线的解析式.
(2)点D在抛物线的对称轴上,求AD+CD的最小值.
(3)点P是直线BC上方的点,连接CP,BP,若△BCP的面积等于3,求点P的坐标.
(2)点D在抛物线的对称轴上,求AD+CD的最小值.
(3)点P是直线BC上方的点,连接CP,BP,若△BCP的面积等于3,求点P的坐标.
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2022-10-03更新
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533次组卷
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5卷引用:云南省曲靖市会泽县以礼中学校2022-2023学年九年级上学期9月月考数学试题
名校
9 . 函数的图像与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图像上,轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b,c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得与的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
(1)求b,c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得与的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
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2021-03-10更新
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880次组卷
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18卷引用:云南省昆明市第三中学2020-2021学年九年级下学期03月月考数学试题
云南省昆明市第三中学2020-2021学年九年级下学期03月月考数学试题湖北省武汉市四校联考2018届九年级中考模拟试卷(3月份)数学试题【全国市级联考】天津市东丽区2018届九年级中考数学二模试题河北省唐山市丰南区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题四川省绵阳市江油市2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(已下线)专题19 动点问题与几何图形综合题型-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品(河南)(已下线)【新东方】fbk2045数学(已下线)【万唯原创】2018年河南省中考数学试题研究-河南试卷-河南重难题型研究解答题重难点突破题型8类型1+2(已下线)【万唯原创】2018年河南省中考数学试题研究-练习册-第三章6(已下线)【万唯原创】2019年河南省中考数学试题研究 河南试卷题型八二次函数压轴题1浙江省宁波市江北区惠贞书院2020-2021学年九年级上学期期中数学试题福建省龙岩市五县(市、区)2020-2021学年九年级上学期期末联合质量抽测数学试题2021年内蒙古包头市第29中中考三模数学试卷2021年湖北省黄石八中九年级终极模拟考试数学试题(已下线)数学-2022年广东深圳中考考前押题密卷(含考试版、全解全析、答题卡)2021年广西柳州市柳城县初中毕业升学模拟考试数学试题(一)(已下线)黄金卷06-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷(湖北武汉专用)2024年江苏省徐州树德中学中考数学三模试题
10 . 在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴的交点为,两点,与轴交于点,顶点为,其对称轴与轴交于点.(1)求二次函数解析式;
(2)连接,,,试判断的形状,并说明理由;
(3)点为第三象限内抛物线上一点,的面积记为,求的最大值及此时点的坐标;
(4)在线段上,是否存在点,使为等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)连接,,,试判断的形状,并说明理由;
(3)点为第三象限内抛物线上一点,的面积记为,求的最大值及此时点的坐标;
(4)在线段上,是否存在点,使为等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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2023-01-10更新
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256次组卷
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7卷引用:专题10 二次函数与几何问题(一)(六大热点题型归纳)-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练(云南专用)
(已下线)专题10 二次函数与几何问题(一)(六大热点题型归纳)-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练(云南专用)2019年湖北省恩施市九年级中考第二次适应性考试数学试题湖北省恩施州巴东县神农中小学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题湖北省恩施州白杨坪乡初级中学2022-2023学年九年级数学上学年第三次月考测试题 (已下线)湖北省恩施州利川市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题变式题21-242023年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级下学期五校联考数学试卷山西省朔州市右玉县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题