1 . 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接和，边分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．

   
回答下列问题：
(1)求的面积．
(2)求证：．
(3)若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标．

3 . 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点和点B，点P是反比例函数在第一象限内的图象上的动点，且在直线的上方．

(1)填空：点B的坐标为        ，线段的长度为             ；
(2)若点P的横坐标为1，试判断的形状，并说明理由；
(3)若直线与x轴分别交于M、N两点，求证：．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点O为坐标原点，直线交反比例函数图象于另一点B，点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点A不重合，过点A作轴，过点C作轴，点E为垂足，相交于点D，连接．

(1)______；
(2)求证：：
(3)当时，求的长．

7 . 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B．

(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分；
(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标．

8 . 已知关于x的一次函数与反比例函数.
(1)求证：与的图象至少有一个交点.
(2)若的图象与x轴的交点横坐标为．
①求k的值；
②若，求x的取值范围（直接写出范围）．

9 . 在平面直角坐标系中有，，，．反比例函数的图象如图所示．

(1)若反比例函数经过点B，且交于点D，求证：D为的中点．
(2)若反比例函数与的边界恰有两个公共点，请直接写出k的取值范围，

10 . 反比例函数中比例系数的几何意义为：如图，过双曲线上任意一点作轴于点、轴于点，则有，所以．
【问题背景】
如图2，点为反比例函数图象上任意一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交反比例函数于点．

【理解应用】
（1）求证：
（2）连接，若时，求点的坐标．
【拓展迁移】
（3）点与点为反比例函数图象上一点，的坐标为，连接，，若，求点的坐标．