名校
1 . 如图1~图3，在
中，
，
，
．
为边
上一点，
，连接
，并作
交线段
或射线
于点
（在右侧）．
，求证：
，并求此时
的值；
(2)如图2，若点恰好落在点
上，琪琪认为：“此时
是等腰三角形，并且
”，请通过计算的值，说明琪琪的说法是否正确；
(3)当点位于如图3所示的位置时，若
，求的值；
(4)用含的式子表示
长，直接写出结果．
中，，，．为边上一点，，连接，并作交线段或射线于点（在右侧）．
，求证：，并求此时的值；(2)如图2，若点
恰好落在点上，琪琪认为：“此时是等腰三角形，并且”，请通过计算的值，说明琪琪的说法是否正确；(3)当点
位于如图3所示的位置时，若，求的值；(4)用含
的式子表示长，直接写出结果．
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2 . 如图，在边长为1的菱形
中，
，将
沿射线
的方向平移得到
，分别连接
，
，
，则
的最小值为（ ）
中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（ ）
| A．1 | B． | C． | D．2 |
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3 . 如图1，在
中，
，
，
．将
绕点
顺时针旋转得到
（点
的对应点为点，点
的对应点为点
），延长
与交于点，且点始终在边上（不与，重合），连接，，设
．
；
(2)当
时，如图
，求的值；
(3)如图
，在旋转过程中，设
与
交于点
．
①当
时，求的值；
②直接 写出点到直线的距离（用含的式子表示）．
中，，，．将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），延长与交于点，且点始终在边上（不与，重合），连接，，设．
；(2)当
时，如图，求的值；(3)如图
，在旋转过程中，设与交于点．①当
时，求的值；②
到直线的距离（用含的式子表示）．
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4 . 如图1，在中，
为AC边上一点，
，O为中点．的距离为_________．
(2)求证：
．
(3)如图2，将与全等的
如图放置，
与重合，点与点重合，将沿方向向右平移，平移速度为每秒1个单位长度，如图3．当点E到达点后立即绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒
，如图4，当点落在直线上时停止旋转．
①从平移开始到旋转结束，求点D经过路径的长度．
②求点M落在内部（包含边界）的时长．
③在旋转过程中，设、与的边分别交于点P、Q，当
时，直接写出
的值．（参考数据：
）
中，为AC边上一点，，O为中点．
的距离为_________．(2)求证：
．(3)如图2，将与
全等的如图放置，与重合，点与点重合，将沿方向向右平移，平移速度为每秒1个单位长度，如图3．当点E到达点后立即绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，如图4，当点落在直线上时停止旋转．①从平移开始到旋转结束，求点D经过路径的长度．
②求点M落在
内部（包含边界）的时长．③在旋转过程中，设
、与的边分别交于点P、Q，当时，直接写出的值．（参考数据：）
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5 . 如图，正六边形
的边长为，内部有一个正方形（正方形的顶点可以在正六边形的边上），正方形的两个顶点
、
分别在边
、
上．
，
则正方形的边长为_________ ．
（2）正方形面积的最大值为_________ ．
的边长为，内部有一个正方形（正方形的顶点可以在正六边形的边上），正方形的两个顶点、分别在边、上．
，则正方形的边长为（2）正方形面积的最大值为
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6 . 如图1，在中，
，
，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿
向终点C运动，到达点C停止，过点Р作
延长线的垂线，垂足为Q．将
绕点P逆时针旋转
得
．设点P的运动时间为t（秒）．的面积为______，点C到直线的距离为______；
(2)求点N在区域（含边界）内的时长；
(3)若点N到的距离为1，求t的值；
(4)直接写出点N在点P运动过程中经过的路径长．
中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动，到达点C停止，过点Р作延长线的垂线，垂足为Q．将绕点P逆时针旋转得．设点P的运动时间为t（秒）．
的面积为______，点C到直线的距离为______；(2)求点N在
区域（含边界）内的时长；(3)若点N到
的距离为1，求t的值；(4)直接写出点N在点P运动过程中经过的路径长．
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名校
7 . 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中包括垂直这种特殊位置关系．
（1）如图1，
，，分别在，
上，平分
交于点，是直线上一点，
平分
交于点．
①当D在点B的右侧，且
，
，
，
；
②过点作
，垂足为
，记
度，
度，直接写出
与的关系式．
【拓展】
（2）中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，B两座可旋转探照灯．如图2，假定主道路是平行的，即 ，连结，且
．灯发出的射线自
顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自
顺时针旋转至
便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是3度
秒，灯转动的速度是9度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为
秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值．
（1）如图1，
，，分别在，上，平分交于点，是直线上一点，平分交于点．①当D在点B的右侧，且
，， ，；②过点
作，垂足为，记度，度，直接写出与的关系式．【拓展】
（2）中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，B两座可旋转探照灯．如图2，假定主道路是平行的，即
，连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是3度秒，灯转动的速度是9度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值．
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8 . 在四边形中，，
，，
，
于点
．在
中，
，
，
．将按如图1放置，顶点在上，且
，然后将沿
平移至点与点重合，再改变的位置，如图3，将顶点沿移动至点，并使点始终在上．
；
(2)当点在上运动时，
①如图1，连接，当
时，求的长；
②如图2，设
与的交点为，当顶点
落在上时，直接写出
的长；
(3)如图3，点在上运动时，
交
于点，设
，请直接用含
的式子表示
的长．
中，，，，，于点．在中，，，．将按如图1放置，顶点在上，且，然后将沿平移至点与点重合，再改变的位置，如图3，将顶点沿移动至点，并使点始终在上．
；(2)当点
在上运动时，①如图1，连接
，当时，求的长；②如图2，设
与的交点为，当顶点落在上时，直接写出的长；(3)如图3，点
在上运动时，交于点，设，请直接用含的式子表示的长．
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9 . 已知矩形纸片中，
，
，点从点出发，沿做匀速运动．点运动的同时，将
沿所在直线折叠，得到
．运动到中点时，落在矩形内，则
______；
(2)如图2，点运动到处时，与交于点，求证：
；
(3)点运动过程中，恰好落在边上时，与的交点为
，请在图3中画出的示意图．
①求出线段
的长．
②延伸：若点到达点后继续匀速沿运动，直至到达点停止，设点的速度为1
，则点沿
运动的整个过程中，直接写出
能覆盖点的时长（含边界）．
(4)设
，当
时，直接写出点到的距离（用含
的式子表示）．
中，，，点从点出发，沿做匀速运动．点运动的同时，将沿所在直线折叠，得到．
运动到中点时，落在矩形内，则______；(2)如图2，点
运动到处时，与交于点，求证：；(3)点
运动过程中，恰好落在边上时，与的交点为，请在图3中画出的示意图．①求出线段
的长．②延伸：若点
到达点后继续匀速沿运动，直至到达点停止，设点的速度为1，则点沿运动的整个过程中，直接写出能覆盖点的时长（含边界）．(4)设
，当时，直接写出点到的距离（用含的式子表示）．
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10 . 如图1、图2、图3和图4、是半圆O的直径，且
，点C以每秒
个单位长的速度从点B沿
运动到点A．，．求图1中的阴影部分面积和的最小值S；
(2)如图2，过点C作半圆O的切线，点P在射线AB上，且
，过点P在射线的上方作
．且
．当点Q与点C重合时，求点H到射线的距离；
(3)如图3和图4，在点C运动过程中，将半圆O沿折叠，与交于点D．
①连接．若
，求
的度数；
②当点D落在半径
上（包括端点O，A）时，求点C运动的时长；
③如图4，连接
，过点A作
，与的延长线交于点E，延长交于点F，连接．当
时，请直接 用含d的式子表示
．
是半圆O的直径，且，点C以每秒个单位长的速度从点B沿运动到点A．
，．求图1中的阴影部分面积和的最小值S；(2)如图2，过点C作半圆O的切线
，点P在射线AB上，且，过点P在射线的上方作．且．当点Q与点C重合时，求点H到射线的距离；(3)如图3和图4，在点C运动过程中，将半圆O沿
折叠，与交于点D．①连接
．若，求的度数；②当点D落在半径
上（包括端点O，A）时，求点C运动的时长；③如图4，连接
，过点A作，与的延长线交于点E，延长交于点F，连接．当时，请．
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