1 . 如图，O 是矩形 对角线的交点，点E 在 边上，连接，将线段绕着点O 逆时针旋转得到线段（ 点F 在矩形内部），连接．若，，则面积的最大值是_______．

2 . 【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为      ；      ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．

3 . 综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片，，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边上取一点D，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边上时，．
如图3，小红发现，当点D是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在中，，，点D是边上一点，将沿翻折得到．
（1）如图2，当点E在边上时，求证：．
（2）如图3，当点D是的中点时，连接，若，，求的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长．

4 . 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（     ）

   

A．

B．

C．

D．2

5 . 如图，矩形中，，，E为上一点，且，动点F从点A出发沿方向以每秒3个单位的速度向终点B运动．连接，，，过点E作交射线于点H，设点F的运动时间为t秒．


(1)填空：______；______．（用含t的代数式表示）
(2)当与以点B，E，H为顶点的三角形相似时，求t的值．
(3)若点C关于直线的对称点为，当落在内（包括边界）时，则t的取值范围是______．（请直接写出答案）

8 . 如图，在等边三角形中，，，，，且，则的长为__________．
   

10 . 如图，在四边形中，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则的最大值为________；