1 . 如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？
(3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？

2 . 新华社天津3月29日电（记者周润健、张泽伟）29日，2024年全国室内田径锦标赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35轻松夺冠．铅球从出手到落地的过程中，其运动轨迹（不考虑其他因素）可以近似的看成是抛物线的一部分．某运动员在训练时，铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离为（米）之间的部分对应数值如下表所示：

x	0	3	6	9	12
y

(1)出手时铅球的竖直高度是______米，铅球在空中的最大高度是______米；
(2)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
(3)该运动员在比赛时，投出的铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，请判断该运动员在比赛和训练时，哪次投出的铅球更远一些，并说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．

(1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形．
①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围．

4 . 已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D．

(1)求b，c的值；
(2)当为以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标.

5 . 已知抛物线:交轴于点A，B，交轴于点C．

(1)如图1，当点A坐标为时，求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接，若将四边形平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标；
(3)如图2，为等边三角形，点F，H在轴上，且点E的坐标为，将抛物线:向右平移个单位，再向下平移个单位后得到新的抛物线，若与等边三边恰有四个交点，求的取值范围．

6 . 综合应用
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与抛物线在第二象限交于点，若动点在上运动，线段绕点顺时针旋转，点首次落在轴上时记为点，在点运动过程中，判断的大小是否发生变化？并说明理由．
(3)在（）的条件下，连接，记的外接圆的最小面积为，记的外接圆的最大面积为，试求的值（结果保留）．

7 . 已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；
(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．

8 . 如图，已知直线与抛物线交于点，且点在轴上，是轴上一点，连接．

(1)求的值；
(2)当取得最小值时，求点的坐标；
(3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．

9 . 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且经过点，抛物线与直线的上方部分和反比例函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不含边界）记为，则中整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数为（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

10 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求当M是中点时的P点坐标；
(3)作，垂足为N，连接，．
请从下列两个问题中任选一个问题完成．
问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值．
(4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由．