1 . 如图抛物线 与x轴交于 A、B两点，与y轴交于C点，且 ．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)判断的形状，证明你的结论；
(3)点M 是x轴上的一个动点，当最小时，求点M 的坐标．

2 . 已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是_____

3 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点、、，已知，．

(1)求此抛物线的解析式及直线的解析式．
(2)点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点．
①动点在什么位置时，的周长最大，求此时点的坐标；
②连接，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好搭在抛物线对称轴上时，求此时对应的点的坐标．（结果保留根号）

4 . 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．

5 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值．
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

7 . 物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．

(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．

8 . 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点是直线上方的抛物线上一动点，过点作垂直于轴，垂足为．是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

9 . 垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？

10 . 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．

图1图2

(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下：

水平距离	0	3		4．
竖直高度

根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________；
(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____（填）；
(3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？