4 . 如图，以的直角顶点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与重合，并绕点旋转，直角边、与边、相交于、．

(1)如图，当时，请直接写出线段与的数量关系：______ ．
(2)如图，当时，请直接写出与的数量关系：______ ．
(3)当时，猜想与的数量关系用含有的式子表示，并结合图证明你的猜想．
(4)若，，为的内心，结合图，判断是否在双曲线上，说明理由．

5 . 在三角形中，等腰直角三角形是非常特殊且重要的几何图形，它们不仅图形优美且性质众多，基于理解，请认真阅读并解决下列问题．

(1)如图1，平面直角坐标系xoy中，点A（4，0），点P为反比例函数（）图象上一点且在第一象限，若△OPA为等腰直角三角形，求反比例函数的解析式；
(2)如图2，直线（，k为常数）与坐标轴分别交于A，B两点，△OAB为等腰直角三角形，C，D是线段AB上两动点（C在D的左边），且始终满足∠COD=45°，问：AC·BD是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由；
(3)如图3，抛物线（a为正整数，b、c为常数）与x轴正半轴交与A、B两点，与y轴正半轴交于点C，顶点为点D，连接AC，AD，BC，BD．若抛物线满足以下三个条件：①△ABD是等腰直角三角形；②∠OCA=∠OBC；③抛物线图象始终在直线的上方．求抛物线的二次项系数a．

7 . 已知点A（0，4），将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，对应点B恰好落在反比例函数的图象上．过点B的直线l的表达式为y＝mx+n，与反比例函数图象的另一个交点为点C，分别交x轴、y轴于点D、点E．

(1)求反比例函数表达式；
(2)若线段BC＝2CD，求△BOD的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为反比例函数图象上B、C之间的一点（不与B、C重合），PM⊥x轴交直线l于点M，PN⊥y轴交直线l于点N，请分析EM•DN是否为定值，并说明理由．