1 . 问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求
的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，
是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与
的距离为20m，与
的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁
，通往A，B两岛，并修建桥梁
，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求的最小值．问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，
，P是直线l上一点，求的最小值．问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，
是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
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2 . 如图①所示，平行四边形
是某公园的平面示意图．
、
、
、
分别是该公园的四个入口，两条主干道
、
交于点
，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若
，
，
，公园的面积为______
；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道
、
、
，其中点
在
上，点
在
上，且
（点与点、不重合），并计划在
与
两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时
，
，
，修建（2）中的绿道每千米费用为
万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： (1)若
，，，公园的面积为______；(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道
、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；(3)若将公园扩大，此时
，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
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3 . 如图，
中，
，
，
，
，
；垂足分别为点F和E．点G和H分别是
和
上的动点，
，那么
的最小值为______ ．
中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为
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解题方法
4 . 如图，在
中，
，的面积为12，的垂直平分线
交于点F，若D为
边的中点，M为线段上的一动点，则
周长的最小值为_______ ．
中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为
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2023-01-13更新
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606次组卷
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6卷引用：陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题
陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题人教版2020年九年级中考数学重点模型7（已下线）模型七 利用两点之间线段最短求最值河南省驻马店市汝南县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题山东省德州市宁津县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）13.3(培优课)将军饮马模型(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）
名校
5 . 如图，在平面直角坐标系中，菱形
的对角线上有P，Q两个动点，且
，已知点
，当
周长最小时，点P的坐标为________ ．
的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为
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2022-04-03更新
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641次组卷
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5卷引用：陕西省西安市雁塔区师大附中2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题
陕西省西安市雁塔区师大附中2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题2023年陕西省西安市曲江第一中学中考第二模数学试题山东省烟台市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题山东省烟台市芝罘区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题1.4 菱形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）
6 . 已知矩形
，
，
，点 E 为边的中点，点 F 为 边上的动点，点 B 和点
关于对称，则
的最小值是______ ．
，，，点 E 为边的中点，点 F 为 边上的动点，点 B 和点关于对称，则的最小值是
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2021-05-08更新
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661次组卷
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2卷引用：2021年陕西省咸阳市兴平市中考一模数学试卷
7 . 如图，在锐角中，AC＝10，
，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______________
中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是
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2020-11-22更新
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1918次组卷
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12卷引用：陕西省宝鸡市凤翔县2020-2021学年七年级下学期期末数学试题
陕西省宝鸡市凤翔县2020-2021学年七年级下学期期末数学试题陕西省西安市雁塔区第二中学2022-2023学年七年级下学期第二次月考数学试题江苏省连云港市赣榆区赣榆实验中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题江苏省连云港市赣榆区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题辽宁省鞍山市千山区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（已下线）专题4.2 三角形（提高篇）专项练习-【挑战满分】2020-2021学年七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）（已下线）江苏八年级上学期期中【压轴35题考点专练】（前四章）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版）山东省聊城市东昌府区聊城第五中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题4.37 三角形（最值问题）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）新疆维吾尔自治区喀什地区喀什市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题山东省聊城市东阿县实验中学2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题（已下线）八年级开学摸底考（湖北专用）-2023-2024学年八年级数学下学期开学摸底考试卷
8 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴上，点A在反比例函数
的图象上，点B在反比例函数
的图象上，AB交x轴与点E，
．
（1）求k的值；
（2）若，点P为y轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB交x轴与点E，． （1）求k的值；
（2）若
，点P为y轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
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9 . 正方形ABCD中，AB＝2
，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________ ．
，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为
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2020-09-16更新
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1357次组卷
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6卷引用：陕西省西安市西安建筑科技大学附属中学2021-2022学年第一学期第一次质量监测初三年级数学试题
10 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ）
| A．5 | B． | C． | D． |
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2020-07-06更新
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1450次组卷
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9卷引用：陕西省西安市雁塔区第二中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试题
陕西省西安市雁塔区第二中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试题安徽合肥市蜀山区2019-2020学年八年级下学期期末统考数学试题广东省茂名市官渡街道三校联考2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）专题18.14 《平行四边形》之几何模型-将军饮马（专项练习）-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）山东省聊城市临清市实验中学2022-2023学年八年级下学期6月月考数学试题湖北省武汉市华一光谷2022-2023学年八年级下学期月考数学试题安徽省马鞍山市第七中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试题（已下线）专题1.28 用勾股定理求最值常用方法专题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）专题3.28 用勾股定理求最值常用方法专题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）
