2 . 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．

(1)为了说明了上述方法的正确性，需要对其进行严谨的数学证明，请根据上述内容，完成证明；已知：如图2，是半圆的直径，点在直线上，且，，与相切于点，求证：；
(2)若，半圆的半径为3，连接，交圆于点，求弧的长．

3 . 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且．

(1)求证：；
(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．

4 . 综合与探究
在中，，的角度记为．

(1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：；
(2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________；
(3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由．

5 . 尺规作图并完成证明.
如图，点，在外，连接、、，且，，．

(1)用尺规作图完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）；
(2)根据（1）中的作图，求证：；
请完善下面的证明过程．
证明：∵平分
∴___________
∵
∴___________
∴
∴___________
在和中

∴（___________）
∴

6 . 求证：有两边和其中一边上的高分别对应相等的两个锐角三角形全等．（要求：根据题意画出图形、写出已知、求证并证明）

7 . 如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．

(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．

8 . 如图，在和中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，①，②，③，④．

(1)请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，一共可以组成__________个真命题；
(2)选择其中一个真命题，并给出证明．
解：我写的真命题是：
在和中，
已知：_______________，
求证：_______________．（不能只填序号）
证明：

9 . 我们学习利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三等分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，足够长的与垂直于点．

【任务目标】三等分（如图2）
【操作方法】如图3，
第一步：使三等分角器的经过的顶点；
第二步：调整三等分角器的位置，使点落在边上；
第三步：继续调整三等分角器的位置，使半圆与另一边相切，连接．则三等分．
【证明与应用】
(1)为了说明了上述方法的正确性，需要对其进行严谨的数学证明，请根据上述内容，补充已知条件并完成证明；
已知：如图3，是半圆的直径，点在直线上，且，______，______，连接，交圆于点，求证：；
(2)若，半圆的半径为3，求的长．

10 . 如图，，，，．

(1)求证：．
(2)图中、有怎样的关系？试证明你的结论．