1 . 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（），设线段与相交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数为；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．
②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．

2 . 综合与实践
【知识呈现】
两块等腰直角三角板和如图摆放，其中，是的中点，是的中点，是的中点．

(1)如图，若点，分别在，的延长线上，通过观察和测量，猜想和的数量关系为______，位置关系为______；
【拓展巩固】
(2)如图，若将三角板绕着点顺时针旋转至在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【探究提升】
(3)如图，将图中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．

3 . 问题发现：
(1)如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，

①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高交AE于M，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

4 . 如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到　 　，再证明　 　，可得出结论，他的结论应是　 　．

拓展延伸：
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．

5 . 如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．
   
（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．

6 . 【提出问题】
（1）已知：菱形ABCD的边长为6，，为等边三角形，当点P与点D重合，点E在对角线AC上时（如图1所示），求的值．
【类比探究】
（2）在上面的问题中，如果把点P沿DA方向移动，使，其余条件不变（如图2），求的值；
【拓展迁移】
（3）在原问题中，当点P在线段DA的延长线上，点E在CA的延长线上时（如图3），设，请直接写出线段AE、AF的长与m有怎样的数量关系．
   

7 . 如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且交于，连接
问题提出：（1）求证：
拓展与探索：（2）请求出的度数；

问题解决：（3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．

8 . 探究题：如图1，和均为等边三角形，点在边上，连接．

（1）请你解答以下问题：
①求的度数；
②写出线段，，之间数量关系，并说明理由．
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边上，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题：如图3，在四边形中，，，，与交于点．若恰好平分，请直接写出线段的长度．

9 . 已知∠ACD＝60°，AC＝DC，MN是过点A的直线，B、E两点在直线MN上，∠BCE＝60°，CB＝CE．
（1）问题发现：如图1，BD和EA之间的数量关系为　 　，BD、AB、BE之间的数量关系为　 　；
（2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图2位置时，BD、AB、BE之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）解决问题：当MN绕点A分别旋转到如图2和如图3位置时，若当时∠CAN＝50°，连接AD，则∠ADB的大小为　 　．

10 . （1）操作发现
如图1，在五边形中，，，，试猜想，，之间的数量关.小明地过仔细思考，得到如下解题思路：

将绕点逆时针旋转至.由，得，即点,，三点共线，易证_____，被，，之间的数量关系是_______；
（2）类比探究
如图2，在四边形中，，，点，分别在边，的延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明.
（3）拓展延伸
如图3，在中，，，点，均在边上，且，若，，则的长为_____.