1 . 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A. D. E在同一直线上，连接BE.

填空：（1），①∠AEB的度数为         ；②线段AD、BE之间的数量关系是             ；
（2）拓展探究：如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE.若∠CAF=∠BAF，BE=2，试求AF的长.

2 . 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点,
(1)观察猜想：如图 1 中，△PMN 是 三角形；
(2)探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD， CE．判断△PMN 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围．

5 . 【方法回顾】
课本研究三角形中位线性质的方法
已知：如图①， 已知中，，分别是，两边中点．
求证：，
证明：延长至点，使， 连按．可证：（　　）
由此得到四边形为平行四边形， 进而得到求证结论
（1）请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图①中作出证明中所描述的辅助线（请用铅笔作辅助线）；
②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择） .
【问题拓展】
（2）如图②，在等边中， 点是射线上一动点（点在点的右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，点是线段的中点，连接、．
①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
②若，求线段长度的最小值．

6 . 阅读理解：

（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．

7 . [教材呈现]如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．

[方法运用]在ABC中，AB＝4，AC＝2，点D在边AC上．
（1）如图①，当点D是边BC中点时，AD的取值范围是　     ．
（2）如图②，若BD：DC＝1：2，求AD的取值范围．
[拓展提升]（3）如图③，在ABC中，点D、F分别在边BC、AB上，线段AD、CF相交于点E，且BD：DC＝1：2，AE：ED＝3：5．若ACF的面积为2，则ABC的面积为　 　．

8 . 问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．

①求证：；
②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．
①证明是等边三角形；
②若，求的长．

9 . 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．
下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，点、、共线．易证__________，从而可证得．
（2）类比引申
如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系_______________________ 时，仍有．写出推理过程：

10 . 我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．
探究：已知，求作一个，使，，（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
   
(1)动手画图
请用尺规作图的方法完成下面的作图过程：
①画；②在线段的上方画；③画．
(2)观察
观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（根据自己作图标注的字母填三角形的名称）与明显不全等；
(3)小结
经历以上探究过程，可得结论：______．