1 . 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

   

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．

2 . 如图，在中，为边上一点，且，连接．求证：．

3 . 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．

(1)求证：；
(2)连接，若，直接写出的度数．

5 . 综合与实践
在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接．

问题初探
（1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则____．
探究迁移
（2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：．
拓展应用
（3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．

6 . 如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点．

(1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明；
(3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______．

7 . 在中，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，．

(1)如图1，当，点P在内部时，探索与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；
(3)当时，若点E，F分别是，的中点，点P在直线上，当点C，P，D在同一直线上时，求的值．

9 . 如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段．

(1)尺规作图：求作线段，使为边绕点A逆时针旋转所得的．
(2)连结交边于点F．猜想并写出线段，的数量关系，请说明理由．

10 . 如图，在四边形中，对角线、相交于点，过、分别作的垂线，垂足分别为点、，且、．求证：四边形为平行四边形．