1 . 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B的坐标分别为，且a、b的值为方程的两个解，点C在x轴正半轴上，且，点P在x轴上从点B出发沿射线方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒；

(1)求点C的坐标；
(2)如图2，当点P在线段上时，连接，将线段绕点P顺时针旋转至（点A与点E对应），连接，当轴时，求此时t的值；
(3)如图3，当动点P在线段上时，以为邻边构造平行四边形，连接，将沿折叠得到（点F与点B对应），当点F恰好落在线段上时，过点P作于点Q，求线段的长．

2 . 【综合与实践】
问题情境：
如图1，在中，，为钝角，点D是的中点，于点E，于点F．试判断线段与的数量关系，并说明理由．

探究展示：
小宇同学展示出如下正确的解法：
解：     1     （填写和的数量关系），理由如下：
点D是的中点，
是边上中线，
，
是的角平分线．（ 2     ）（填写结论依据）
，，
．
反思交流：
(1)完成上面解题过程的两个填空：①：____________________；②____________________；
(2)利用上述结论请继续探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在图1的条件下，点M是射线上一点，作，射线交线段于点N，求线段、和之间的数量关系，并说明理由．

3 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，，，过点作直线轴，点是直线上的动点，以为边在右上侧作等腰直角，使．

(1)如图1当点落在点时，则点的坐标是________；
学生甲认为点的坐标一定跟点有关，于是进行了如下探究：
(2)如图2，小聪同学画草图时，让点落在、、不同的特殊位置时（在轴上、与轴平行、当落在轴上时对应点），画出了几个点对应的、、三个不同的位置，发现、、在同一条直线上，请你根据学生甲的猜测及题目条件，求出点所在直线的解析式；
(3)在（2）中，虽然求出了点所在直线的解析式，但是小明同学认为几个特殊点确定解析式是一种猜测，当点在上运动时，所有的点都在一条直线上吗？就解设了点的坐标为，希望用一般推理的方式求出和满足的关系式，请你帮助小明给出解答．

5 . 【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：

如图，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求的值．

小明发现，过点作交于，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：

解：如图①，过点作交于，则，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的一个三等分点，且，
∴，
∴，
∴
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
如图②，在中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为______．
【拓展提高】
如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，则的值为______．

7 . 问题解决：

   

(1)如图1，中，为边上的中线，则．
(2)如图2，分别为的中点，则_________．
(3)如图3，分别为的中点，若，则_________．
问题探究：
(1)如图4，是的中线，交于点与相等吗？
解：中，由问题解决的结论可得，．
∴
∴
即．
(2)如图5，中，是上的一点，是的中线，且，试求的值．
问题拓展：
如图6，中，平分，则_________．