1 . 如图，的对角线和相交于点O，过点且与边、分别相交于点和点．

(1)求证：．
(2)若，则的最小值为__________．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．

(1)点的坐标____；
(2)将正方形以每秒个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

   

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围；
(3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接，以为边作正方形（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题：

(1)①当时，点D的坐标为______；
②用含m的代数式表示点D的坐标为______；
(2)连接，的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；
(3)平面内是否存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

5 . 综合与探究
【模型建立】
（1）如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，则根据______可证明；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式；
（3）在直线上是否存在一点C，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，在中，，以点A为圆心作与相切于点D，与相交于点M，与相交于点N．点E为上一点，，过点E作于点F，交线段与点G，连接．

   

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的值．

8 . 如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，．

(1)求直线的函数表达式和的面积；
(2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标；
(3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 已知在矩形中，，是边，上的点，过点作的垂线交边于点．
[发现]如图1，以为直径作，点　　（填“在”或“不在” 上；当时，的值是　　；
[论证]如图1，当时，求证：；

[探究]如图2，当，是边，的中点时，若，，求的长；
[拓展]如图3，将矩形换为平行四边形，在平行四边形中，，，，是边上的动点，过点在的右侧作的垂线，且有，当点落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出的长．

10 . 如图，在四边形中，，，连接，点E、F在线段上，且有，猜想线段、有何位置关系？并说明理由．