1 . 在矩形中，．

(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证：；
(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；
(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．

2 . （1）如图1，点是边，的垂直平分线的交点，，，，则________度，的长为________，面积的最大值为________；
（2）如图2，四边形中，，，，求四边形的面积；
（3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最小值．　　　　　　
       

3 . 康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，．

(1)①在图1中补全图形；
②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形．
请你回答是         三角形；
③利用图1证明这个结论．
(2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P．
①按要求画出图形；
②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）；
③证明②的结论．
(3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________．

5 . 已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点.

(1)当，时，求的长.
(2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
(3)当线段的长取最大值时，的值为__________.