1 . 背景介绍:勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明精彩粉呈,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,向常春在1994年构造发现了一个新的证法.
小试牛刀:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a,b,c.显然,,,请用a,b,c分别表示出梯形、四边形、的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
(1)________,__________,___________,则它们满足的关系式为____________,经化简,可得到勾股定理.(提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半)
知识运用:
(2)如图2,铁路上A,B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C,D为两个村庄(看作两个点),,,垂足分别为A、B,千米,千米,则两个村庄的距离为_________千米(直接填空);
(3)在(2)的背景下,若千米,千米,千米,要在上建造一个供应站P,使得,请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离.
(4)知识迁移:借助上面的思考过程与几何模型,求代数式+的最小值__________(0<x<16).
小试牛刀:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a,b,c.显然,,,请用a,b,c分别表示出梯形、四边形、的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
(1)________,__________,___________,则它们满足的关系式为____________,经化简,可得到勾股定理.(提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半)
知识运用:
(2)如图2,铁路上A,B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C,D为两个村庄(看作两个点),,,垂足分别为A、B,千米,千米,则两个村庄的距离为_________千米(直接填空);
(3)在(2)的背景下,若千米,千米,千米,要在上建造一个供应站P,使得,请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离.
(4)知识迁移:借助上面的思考过程与几何模型,求代数式+的最小值__________(0<x<16).
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2022-11-20更新
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138次组卷
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2卷引用:广东省深圳市龙岗区同心实验学校2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题
2 . (1)列方程解几何题是常用解题方法,如图,中,,比大1,,求的长.
解:设为x,则,在中..
列方程得:_________________,解得:______________.
(2)如图,有一块直角三角形纸片,两直角边,,现将直角边沿直线折叠,使它恰好落在斜边上,且与重合,求的长.
(3)如图,在中,,是线段的垂直平分线,垂足为O,,且,,则的长为__________(直接写结果).
解:设为x,则,在中..
列方程得:_________________,解得:______________.
(2)如图,有一块直角三角形纸片,两直角边,,现将直角边沿直线折叠,使它恰好落在斜边上,且与重合,求的长.
(3)如图,在中,,是线段的垂直平分线,垂足为O,,且,,则的长为__________(直接写结果).
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3 . 当k值相同时,我们把正比例函数和反比例函数叫做“关联函数”.小亮根据学习函数的经验,以函数y=﹣x和y=﹣为例对“关联函数”进行了探究,下面是小亮的探究过程,请你将它补充完整.
(1)如图,在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象,两个函数图象在第二、四象限分别交于点A,B,则点A,B的坐标分别是A ,B .
(2)点P是函数y=﹣在第二象限内的图象上的一个动点(不与点A重合),作直线PA,PB分别与x轴交于点C,D.设点P的横坐标为t.小亮通过分析得到:在点P运动的过程中,总有PC=PD,证明PC=PD的过程如下(不完整).
易知点P的坐标是(t,﹣).
设直线AP的解析式为y=ax+b.
将点A,P的坐标分别代入,得,解得
∴直线AP的解析式为y=﹣x﹣.
令y=0,得x=t﹣2,则点C的坐标为(t﹣2,0).
同理可求得直线PB的解析式为y=x﹣.
…
请你补充剩余的证明过程.
(3)当△PCD是等边三角形时,t= .
(4)随着点P的运动,△ABP的面积S与点P的横坐标t之间存在一定的函数关系,当t>﹣2时,求S关于t的函数关系式.
(1)如图,在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象,两个函数图象在第二、四象限分别交于点A,B,则点A,B的坐标分别是A ,B .
(2)点P是函数y=﹣在第二象限内的图象上的一个动点(不与点A重合),作直线PA,PB分别与x轴交于点C,D.设点P的横坐标为t.小亮通过分析得到:在点P运动的过程中,总有PC=PD,证明PC=PD的过程如下(不完整).
易知点P的坐标是(t,﹣).
设直线AP的解析式为y=ax+b.
将点A,P的坐标分别代入,得,解得
∴直线AP的解析式为y=﹣x﹣.
令y=0,得x=t﹣2,则点C的坐标为(t﹣2,0).
同理可求得直线PB的解析式为y=x﹣.
…
请你补充剩余的证明过程.
(3)当△PCD是等边三角形时,t= .
(4)随着点P的运动,△ABP的面积S与点P的横坐标t之间存在一定的函数关系,当t>﹣2时,求S关于t的函数关系式.
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名校
4 . 如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E,若△ABC为等边三角形,AD⊥AB,AD=DC=4.
(1)求证:BD垂直平分AC;
(2)求BE的长;
(3)若点F为BC的中点,请在BD上找出一点P,使PC+PF取得最小M值;PC+PF的最小值为 (直接写出结果).
(1)求证:BD垂直平分AC;
(2)求BE的长;
(3)若点F为BC的中点,请在BD上找出一点P,使PC+PF取得最小M值;PC+PF的最小值为 (直接写出结果).
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2022-01-03更新
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275次组卷
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4卷引用:吉林省四平市双辽市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
吉林省四平市双辽市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题(已下线)专题13.4 轴对称-最短路线问题(能力提升)-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》(人教版)江西省南昌市二十八中教育集团2022-2023 学年八年级上学期期中试卷数学试卷广东省中山市2022-2023学年八年级下学期月考数学试题
5 . 八年级的同学在一次探究试验活动中发现,解决几何问题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线(延长的线段等于中线长)或延长过中点的线段,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中,进而使得问题得以解决.
(1)如图1,在中,若,.求边上的中线的取值范围;
(2)如图2,在中,点D是的中点,点M在边上,点N在边上,若.
求证:;
(3)如图3,和均为等腰直角三角形,且,连接,,点D为边的中点,连接.请直接写出与的数量关系和位置关系.
(1)如图1,在中,若,.求边上的中线的取值范围;
(2)如图2,在中,点D是的中点,点M在边上,点N在边上,若.
求证:;
(3)如图3,和均为等腰直角三角形,且,连接,,点D为边的中点,连接.请直接写出与的数量关系和位置关系.
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2024-01-04更新
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122次组卷
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2卷引用:河南省南阳市南召县2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题
6 . 如图,已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=kx+b 的图象经过点B(0,﹣1),并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D.
(1)若点D的横坐标为2,求直线BD的解析式和四边形AOCD的面积(即图中阴影部分的面积);
(2)在第(1)小题的条件下,在x轴上是否存在这样的点P,使得以点P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形?如果存在,求出点P坐标;如果不存在,说明理由.
(3)若y=kx+b与函数y=x+1的图象交点D始终在第三象限,则系数k的取值范围是 .(直接写结果)
(1)若点D的横坐标为2,求直线BD的解析式和四边形AOCD的面积(即图中阴影部分的面积);
(2)在第(1)小题的条件下,在x轴上是否存在这样的点P,使得以点P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形?如果存在,求出点P坐标;如果不存在,说明理由.
(3)若y=kx+b与函数y=x+1的图象交点D始终在第三象限,则系数k的取值范围是 .(直接写结果)
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7 . 如图,以等边的边为腰作等腰,连接,过点作交于点,交的延长线于点.
(1)求证:平分;
(2)若,,,求的长.
下面是小颖同学求长的过程,请将解题过程补充完整;
解:如图所示,在上截取,连接,
∵,,
∴是等边三角形,
∴______
∵是等边三角形,
∴,,
∴______,在和中
∴
∴______
由(1)知为的垂直平分线,
∴
∴______
∴.
(1)求证:平分;
(2)若,,,求的长.
下面是小颖同学求长的过程,请将解题过程补充完整;
解:如图所示,在上截取,连接,
∵,,
∴是等边三角形,
∴______
∵是等边三角形,
∴,,
∴______,在和中
∴
∴______
由(1)知为的垂直平分线,
∴
∴______
∴.
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解题方法
8 . 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,AC=8,点P为AC边上的一个动点,过点P作PD⊥AB于点D,求PB+PD的最小值.请在横线上补充其推理过程或理由.
解:如图2,延长BC到点B′,使得BC=B′C,连接PB′
∵ ∠ACB=90°(已知)
∴ (垂直的定义)
∴ PB= (线段垂直平分线的性质)
∴ PB+PD=PB′+PD(等式性质)
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD取最小值,连接AB′,
在△ABC和△AB′C中,
∵ AC=AC,∠ACB=∠ACB′=90°, ∴ △ABC≌△AB′C(理由: )
∴ S△ABB′=S△ABC+ =2S△ABC(全等三角形面积相等)
∵ S△ABB′=AB﹒B'D=×10×B′D=5B′D
又∵S△ABB′=2S△ABC=2×BC﹒AC=2××6×8=48
∴ (同一三角形面积相等)
∴ B′D=
∴
解:如图2,延长BC到点B′,使得BC=B′C,连接PB′
∵ ∠ACB=90°(已知)
∴ (垂直的定义)
∴ PB= (线段垂直平分线的性质)
∴ PB+PD=PB′+PD(等式性质)
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD取最小值,连接AB′,
在△ABC和△AB′C中,
∵ AC=AC,∠ACB=∠ACB′=90°, ∴ △ABC≌△AB′C(理由: )
∴ S△ABB′=S△ABC+ =2S△ABC(全等三角形面积相等)
∵ S△ABB′=AB﹒B'D=×10×B′D=5B′D
又∵S△ABB′=2S△ABC=2×BC﹒AC=2××6×8=48
∴ (同一三角形面积相等)
∴ B′D=
∴
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9 . 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,AC=8.点P为AC边上的一个动点,过点P作PD⊥AB于点D,求PB+PD的最小值.请你在横线上补充其推理过程或理由.
解:如图2,延长BC到点B′,使得BC=B′C,
因为∠ACB=90°(已知),
所以________(垂直的定义),
所以PB=______(线段垂直平分线的性质),
所以PB+PD=PB′+PD(等式性质),
所以过点B′作B′D⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD取最小值
在△ABC和△AB′C中,
因为∠ACB=∠ACB′=90°,AC=AC,________,
所以△ABC≌△AB′C(理由:________),
所以SABB′=S△ABC+_______=2S△ABC(全等三角形面积相等),
因为S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D,
又因为S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48,
所以_______(同一三角形面积相等),
所以B′D=,
所以_______.
解:如图2,延长BC到点B′,使得BC=B′C,
因为∠ACB=90°(已知),
所以________(垂直的定义),
所以PB=______(线段垂直平分线的性质),
所以PB+PD=PB′+PD(等式性质),
所以过点B′作B′D⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD取最小值
在△ABC和△AB′C中,
因为∠ACB=∠ACB′=90°,AC=AC,________,
所以△ABC≌△AB′C(理由:________),
所以SABB′=S△ABC+_______=2S△ABC(全等三角形面积相等),
因为S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D,
又因为S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48,
所以_______(同一三角形面积相等),
所以B′D=,
所以_______.
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