1 . 几何与探究
【初步感知】（1）如图1，在中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】（2）如图2，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．

   

2 . 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）

【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值．

3 . 定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．在第9章中我们学习了几种特殊四边形，请你根据已有的研究经验来探究筝形的性质．

(1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有___________．（填序号）．
(2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点是对角线上一点，过分别作的垂线，垂足分别为点．求证：四边形是筝形．
(3)【思维拓展】如图3，在筝形中，，求筝形的面积．

7 . 【问题】：如图1，等腰直角三角形中，，，是的角平分线，点E为上一点，交延长线于点F，连接，探究，，之间的数量关系．
【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点E作的垂线与相交于点G（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．
（1）请根据小明的思路，补全的证明过程；
（2）请直接写出，，之间的数量关系；
【应用】（3）当时，请直接写出的长为             ；
【拓展】（4）若的中点为点M，当B，E，M三点共线时，请直接写出的长为      ．

8 . 综合与探究

数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）．
①延长到点，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系．
(1)根据小明组内的做法，能得到的依据是_______，边上的中线的取值范围是_______．
(2)灵活运用：如图3，在中，是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
(3)拓展延伸：以的边为边向外作和，是的中点，连接．当时，请直接写出的长．

9 . 【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

   
【性质探究】
（1）如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是：                           ；图中、的大小关系是：                         ．
【概念理解】
（2）如图2，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
【应用拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：．

10 . 【阅读理解】
(1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，再证明“”．探究得出的取值范围是______；
   
【灵活运用】
(2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
   
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作，交于点E，交的延长线于点F．若，，求．