1 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图2，在
中，对角线
相交于点O，
过点O且与边
分别相交于点E，F．求证：
．
．若
，
的周长是9，则的周长是______．
| 平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1， 的对角线 和 相交于点 ．求证：  ， ．
|
（2）【性质应用】如图2，在
中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：．
．若，的周长是9，则的周长是______．
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2 . 如图，已知BD是矩形
的对角线．
的垂直平分线，分别交
、
于
、
（保留作图痕迹，不写作法和证明）：
(2)连接
、
，求证：四边形
是菱形．
(3)若
，
，求的长．
的对角线．
的垂直平分线，分别交、于、（保留作图痕迹，不写作法和证明）：(2)连接
、，求证：四边形是菱形．(3)若
，，求的长．
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3 . 下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，请根据提示分别完成证明．
| 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在  中， 是斜边的中线．求证：  ． | |
| 方法一 证明：如图，延长  至点D，使得，连接 ．
| 方法二 证明：如图，取 的中点D，连接 ．
|
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4 . 小明在学习了平行四边形后，对其进行了进一步的研究，发现如果作平行四边形任意一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线一定平分这个平行四边形的面积．他的思路是通过全等和图形的拼接得到面积相等．请根据思路完成以下作图与填空：
如图，在平行四边形
中，
．的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）所作图形中，求证：
．
证明：
四边形是平行四边形，
∴
，
，
①__________．
垂直平分，
②__________．
又
③__________，
．
．
又
，
．
同理，
，
．
小明进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线也有此特征．
请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________．
如图，在平行四边形
中，．
的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；(2)在（1）所作图形中，求证：
．证明：
四边形是平行四边形，∴
，，①__________．垂直平分，②__________．又
③__________，．．又
，．同理，
，．小明进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线也有此特征．
请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________．
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5 . 课本再现
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图①），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线
，垂足为O．
求证：是菱形．
（2）已知：如图②，
，
，点E为的中点，且
．
求证：四边形
是菱形．
| 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． |
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图①），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在
中，对角线，垂足为O．求证：
是菱形．
（2）已知：如图②，
，，点E为的中点，且．求证：四边形
是菱形．
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6 . 如图，在
中，
，
、、分别是
、
、
的中点，连结
、
，求证：
．
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：．| 针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．” |
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7 . 如图，在等边三角形
中，点在边上，点在边的延长线上，以
为一边作等边三角形
，连接
．
(1)若
，求证：
；
(2)试探究：线段
、
、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接．(1)若
，求证：；(2)试探究：线段
、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
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8 . 如图，在四边形中，
，
．
(1)在图中，用尺规作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）条件下，连接，且
，求证：是等边三角形．请补充图形，并完成下列证明过程．
垂直平分，
，
，
①______，
和
中，
，
（③______），
，
，
④______，
⑤______，
是等边三角形．
中，，．(1)在图中，用尺规作线段
的垂直平分线，分别交，于点E，F；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）条件下，连接
，且，求证：是等边三角形．请补充图形，并完成下列证明过程．垂直平分，，，①______，和中，，（③______），，，④______，⑤______，是等边三角形．
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9 . 学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对作一个角等于已知角的两倍有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，注明其中蕴含的数学依据：
用直尺和圆规，作线段
的垂直平分线
分别交
于点M，交
于点N，连接
．（只保留作图痕迹）
求证：
．
证明：∵是的垂直平分线
∴
① ，（依据： ② ）；
∴
③ ，（依据：等边对等角）．
∵
是
的外角
∴
（依据： ④ ）；
∴．
用直尺和圆规，作线段
的垂直平分线分别交于点M，交于点N，连接．（只保留作图痕迹）求证：
．证明：∵
是的垂直平分线∴
① ，（依据： ② ）；∴
③ ，（依据：等边对等角）．∵
是的外角∴
（依据： ④ ）；∴
．
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10 . 下面是证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种方法，完成证明．
直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，是斜边 上的中线．求证： ． | |
| 方法一：（构造中位线法）证明：如图，取边的中点E，连接．
| 方法二：（倍长中线法）证明：如图，延长到点E，使 ，连接．
|
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