1 . 如图，已知：在
中，
，
于点D．
(1)尺规作图：作线段
的垂直平分线交于点E，交
于点F，连接
（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：
．
证明：∵，
∴
① ，
∵
是的垂直平分线，
∴
② ，
∴
，
∴
，
即
③ ，
∵，
∴ ④
，
∴
，
∴．
中，，于点D．(1)尺规作图：作线段
的垂直平分线交于点E，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：
．证明：∵
，∴
① ，∵
是的垂直平分线，∴
② ，∴
，∴
，即
③ ，∵
，∴ ④
，∴
，∴
．
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2 . [问题初探]
在数学活动课上，李老师给出如下问题；如图1，在
中，
，
，垂足为B，且
求证：
①如图2小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路；在上截取
连接
，将线段与
，之间的数量关系转化为与
之间的数量关系。
②如图3，小亮同学从这个条件出发给另一种解题思路：作
的垂直平分线，分别与，
交于F，E两点，连接，将转化为
与
之间的数量关系， 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程
[类比分析]
李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在
中，
，过点A作
(点D与点C在
同侧)，若
，求证； ．
在数学活动课上，李老师给出如下问题；如图1，在
中，，，垂足为B，且求证：①如图2小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路；在
上截取连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系。 ②如图3，小亮同学从
这个条件出发给另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系， 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程[类比分析]
李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在
中，，过点A作 (点D与点C在同侧)，若，求证； ．
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3 . 如图，在中，
，
．
(1)求
的度数；
(2)先作图后证明：用尺规作的垂直平分线
，交于点
，交于点
，连接，（保留作图痕迹）求证
．
中，，．(1)求
的度数；(2)先作图后证明：用尺规作
的垂直平分线，交于点，交于点，连接，（保留作图痕迹）求证．
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名校
4 . 【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形
中，
，
．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【性质探究】
（1）如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是： ；图中
、
的大小关系是： ．
【概念理解】
（2）如图2，在中，
，垂足为，
与
关于所在的直线对称，
与
关于所在的直线对称，延长
，
相交于点
．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
【应用拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点
、
．求证：
．
如图1，四边形
中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】
（1）如图1，连接筝形
的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是： ；图中、的大小关系是： ．【概念理解】
（2）如图2，在
中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；【应用拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，分别交、于点、．求证：．
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5 . 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用．
【操作发现】
对折（
），使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，小明发现四边形
满足：
，
．查阅相关资料得知，象这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【类比探究】
借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小宛同学对“筝形”的性质和判定方法进行了探究．
请根据示例图形，对比表格内容完成相关问题．
（1）表格中①、②处应分别填写的内容是：
①____________；②______________________________；
（2）证明筝形有关对角线的性质．
已知：如图2，在筝形中，，，对角线、
交于点O．
求证：______________________________；
证明：
（3）写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）：
__________________________________________________________________．
【迁移应用】
（4）如图3，在中，
，
，点D、E分别是边、上的动点，当四边形为筝形时，直接写出
的度数．
【操作发现】
对折
（），使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，小明发现四边形满足：，．查阅相关资料得知，象这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．【类比探究】
借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小宛同学对“筝形”的性质和判定方法进行了探究．
请根据示例图形，对比表格内容完成相关问题．
四边形 | 示例图形 | 对称性 | 边 | 角 | 对角线 |
平行 四边形 |
| 是中心对称图形 | 两组对边分别平行，两组对边分别相等． | 两组对角分别相等 | 对角线互相平分． |
菱形 |
| ① | 两组邻边分别相等 | 有一组对角相等 | ② |
①____________；②______________________________；
（2）证明筝形有关对角线的性质．
已知：如图2，在筝形
中，，，对角线、交于点O．求证：______________________________；
证明：
（3）写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）：
__________________________________________________________________．
【迁移应用】
（4）如图3，在
中，，，点D、E分别是边、上的动点，当四边形为筝形时，直接写出的度数．
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2023-07-03更新
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146次组卷
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2卷引用：河南省南阳市宛城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
6 . 如图，在中，，
于点E，BE=AE，是
的角平分线，和
相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)判断
的形状，并证明你的结论．
中，，于点E，BE=AE，是的角平分线，和相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结．(1)求证：
；(2)求证：
；(3)判断
的形状，并证明你的结论．
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名校
7 . 如图，在中，
，．于点．以为边作等边
，直线交直线于点
．连接交于．
(1)求证：
：
(2)探索
，
，之间的数量关系，并证明你的结论．
中，，．于点．以为边作等边，直线交直线于点．连接交于． (1)求证：
：(2)探索
，，之间的数量关系，并证明你的结论．
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8 . 如图，菱形的对角线
相交于点O，延长到E，使
，连接
．
(1)求证：
；(2)过点A作
，交于点G，交于点F，若
，试判断
的形状，并加以证明.
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名校
9 . 如图，在中，
，平分交于点．
(1)作的垂直平分线，分别交，，于点，，
连接，
（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
(2)求证：
（完成以下证明过程）
证明：
，
，
______ ，
，
平分，
．
在
和
中，
．
_____ ，
．
中，，平分交于点．(1)作
的垂直平分线，分别交，，于点，，连接，（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）(2)求证：
（完成以下证明过程） 证明：
，， ______ ，，平分，．在
和中，． _____ ，．
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2023-04-29更新
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392次组卷
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2卷引用：重庆市南岸区第十一中学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
名校
10 . 已知：中，，直线l是过点A的一条直线，点B、C在直线l同侧．
(1)如图1，若，分别过点B、C作
于点D，
于点E，求证：
；
(2)如图2，若
，
，请探究、、之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，
的垂直平分线经过点A并交于点E，且
，请求出
的值．
中，，直线l是过点A的一条直线，点B、C在直线l同侧． (1)如图1，若
，分别过点B、C作于点D，于点E，求证：；(2)如图2，若
，，请探究、、之间的数量关系，并证明；(3)如图3，若
，的垂直平分线经过点A并交于点E，且，请求出的值．
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