1 . 如图，在中，，．于点．以为边作等边，直线交直线于点．连接交于．
   
(1)求证：：
(2)探索，，之间的数量关系，并证明你的结论．

4 . 如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．

(1)求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求边的长．

6 . 综合与探究

数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）．
①延长到点，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系．
(1)根据小明组内的做法，能得到的依据是_______，边上的中线的取值范围是_______．
(2)灵活运用：如图3，在中，是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
(3)拓展延伸：以的边为边向外作和，是的中点，连接．当时，请直接写出的长．

8 . 阅读下列材料，并完成任务．
三角形的外心
定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．
如图1，直线，，分别是边，，的垂直平分线．
求证：直线，，相交于一点．
证明：如图2，设，相交于点，分别连接，，．
∵是的垂直平分线，
∴，（依据1）
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，（依据2）
∵是的垂直平分线，
∴点在上，（依据3）
∴直线，，相交于一点．
   
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据3”分别指什么？
(2)如图3，直线，分别是，的垂直平分线，直线，相交于点，点是的外心，交于点，交于点，分别连接，，，，．若，的周长为，求的周长．

9 . 如图，在中，平分交于D，交于E，过E作，垂足为H，并交延长线于F．

(1)求证：；
(2)请猜想与的大小关系，并证明你的结论．

10 . 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
下面是嘉嘉的做法：
已知：平行四边形的对角线互相垂直，垂足为，
求证：______________．
(1)请把“求证”补充完整，并根据题意画出图形；
(2)写出证明过程．