1 . 数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知
，点
是射线
上的一个定点，在射线
上求作点
在
和
之间），使
．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段
的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接
，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴
，（ ）（填推理的依据）
∴
，
∴
（ ）（填推理的依据）
(3)能否在射线上再求作点
，使
．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使．下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段
的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接
，∵直线l为线段
的垂直平分线，∴
，（ ）（填推理的依据）∴
，∴
（ ）（填推理的依据）(3)能否在射线
上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
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2 . 如图，
中，
．
．
作法：
①作线段
的垂直平分线
交于点
；
②连接
并延长，在延长线上截取
；
③连接
．
则四边形为所求作的矩形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全尺规作图（保留作图痕迹）；
证明：
是线段的垂直平分线，
，
，
四边形为平行四边形（______）（填推理依据）．
，
平行四边形为矩形（______）（填推理依据）．
中，．
．作法：
①作线段
的垂直平分线交于点；②连接
并延长，在延长线上截取；③连接
．则四边形
为所求作的矩形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全尺规作图（保留作图痕迹）；
证明：
是线段的垂直平分线，，，四边形为平行四边形（______）（填推理依据）．，平行四边形为矩形（______）（填推理依据）．
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3 . 已知：平行四边形，
求作：菱形
，使点E、F分别在
边上．
下面是小明设计的尺规作图过程
作法：如图，；
②分别以A、C为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于M、N两点；
③连接，分别与
交于E、F、O三点；
④连接
．
四边形即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵
__________，
___________．
∴是的垂直平分线，
∴
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴
．
∴
．
在
和
中，
∴
．
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴四边形是菱形．（______________）（填推理的依据）
，求作：菱形
，使点E、F分别在边上．下面是小明设计的尺规作图过程
作法：如图，
；②分别以A、C为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于M、N两点；③连接
，分别与交于E、F、O三点；④连接
．四边形
即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵
__________，___________．∴
是的垂直平分线，∴
，，∵四边形
是平行四边形，∴
．∴
．在
和中，∴
．∴
又∵
∴四边形
是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵
，∴四边形
是菱形．（______________）（填推理的依据）
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4 . 乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在
中，
．
求作：直线
，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是乐乐设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边
的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线． 所以直线就是所求作的直线．
根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明直线
将分割成两个等腰三角形．
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5 . 如图，在
中，
是对角线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线
，分别交、
、于点、
、
，连接
和
（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证四边形
是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．
证明：∵垂直平分，
∴
．
又∵四边形是平行四边形，
∴①________
∴
．
在
和
中，
②________
∴
，
∴③________
∵垂直平分，
∴
，④________
∴
，
∴四边形是菱形．
中，是对角线．(1)尺规作图：作线段
的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求证四边形
是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．证明：∵
垂直平分，∴
．又∵四边形
是平行四边形，∴①________
∴
．在
和中，②________
∴
，∴③________
∵
垂直平分，∴
，④________∴
，∴四边形
是菱形．
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6 . 如图，在中，
，的垂直平分线交于点，交于点，
的平分线交于点，两线交点为点
．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，若
，
的周长是
，求的长．
中，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，两线交点为点．(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接
，若，的周长是，求的长．
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7 . 如图，在等边三角形
的外侧作直线
，点
关于直线的对称点为点，连接，，其中交直线于点．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)若
，
，求的长度．
的外侧作直线，点关于直线的对称点为点，连接，，其中交直线于点．(1)依题意补全图形（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)若
，，求的长度．
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8 . 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，
．
求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②连接．
则线段为所求．
(1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：
直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
．（ ）（填推理的依据）
．
，
．
．
．
．（ ）（填推理的依据）
和
都是等腰三角形．
已知：在
中，．求作：线段
，使得线段将分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边
的垂直平分线，与斜边相交于点；②连接
．则线段
为所求．(1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：
直线是线段的垂直平分线，点在直线上，．（ ）（填推理的依据） ．， ．．．．（ ）（填推理的依据）和都是等腰三角形．
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9 . 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，
角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证：
．
(2)补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段的垂直平分线
，交于点D，交于点E，连接
．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）
∵直线是线段的垂直平分线，
∴
．（________________________________）（填推理依据）．
∴
．（________________________________）（填推理依据）．
∵
，
∴
．
∵中，
，，
∴
．（________________________________）（填推理依据）．
∴
．
∴
．
∵
，，
∴
．
在
和
中，
，
∴
（________________________________）（填推理依据）．
∴
，
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴
________．
∴．
角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证：
．(2)补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段
的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）∵直线
是线段的垂直平分线，∴
．（________________________________）（填推理依据）．∴
．（________________________________）（填推理依据）．∵
，∴
．∵
中，，，∴
．（________________________________）（填推理依据）．∴
．∴
．∵
，，∴
．在
和中，，∴
（________________________________）（填推理依据）．∴
，∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴
________．∴
．
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10 . 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：
求作：
，使
．
作法：如图，
①在射线
上任取一点C；
②作线段
的垂直平分线，交
于点D，交于点E，连接
．
所以即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明（说明：括号里填写依据）：
证明：
是线段的垂直平分线，
________（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．
________．（________________）．
，
．
已知：
求作：
，使．作法：如图，
①在射线
上任取一点C；②作线段
的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．所以
即为所求的角．根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明（说明：括号里填写依据）：
证明：
是线段的垂直平分线，________（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．________．（________________）．，．
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2023-11-02更新
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73次组卷
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3卷引用：北京市海淀区一0一教育集团2023-2024学年八年级上学期期中模拟数学试题
