3 . 如图，已知四边形中，为边上一点，连接，，．

(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作的垂线交于（保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，，为的角平分线．
求证：．完成下列填空．
证明：∵，，
①____________，
，
为的角平分线，
，
②____________，
，
，
即：③____________，
∴④____________，
．

5 . 阅读与思考
(1)【特例呈现】
如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．请利用图2证明这个命题．
已知：如图2，在等腰中，，点为中点，于点，于点．
求证：．
   
(2)【一般探索】
在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形外部一点，满足点到等腰三角形的两顶点的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图3所示．请补全已知，并证明．
已知：在等腰中，，于点，于点，        ．
求证：．
   
(3)【问题拓展】       
小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一点，若满足点到一个三角形的两顶点的距离相等，且点到边所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．小明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？若同意小明的想法，请画图并说明理由；若同意小强的想法，请画出反例．

8 . 我们知道“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于舒边的一半”这个定理．
感知：下面是这一定理的两种证明方法，请你选择一种加以证明．
   

图1                                   图2

已知在中，，，求证：．
方法一：如图1，在上取一点，使得，连接．
方法二：如图2，延长到，使得，连接．
你选择方法______；
探究：已知在中，，，利用上述定理解决三个问题：
①如图①，平分交于点，求和的比．
结论
②如图②，垂直平分交于点，交于点，求和的比．
结论
③如图③，于点，求和的比．
结论
其中错误的结论是______（填序号），请写出更正后的结论．
   
应用：如图3，两个全等的含有30°角的直角三角形拼成一个长方形，于点，交于点，若的面积是1，那么长方形的面积是______．