1 . 如图，在中，是对角线．

(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．
证明：∵垂直平分，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴①________
∴．
在和中，

②________
∴，
∴③________
∵垂直平分，
∴，④________
∴，
∴四边形是菱形．

2 . 定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．在第9章中我们学习了几种特殊四边形，请你根据已有的研究经验来探究筝形的性质．

(1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有___________．（填序号）．
(2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点是对角线上一点，过分别作的垂线，垂足分别为点．求证：四边形是筝形．
(3)【思维拓展】如图3，在筝形中，，求筝形的面积．

3 . 小明同学在学习过程中发现了一个命题：“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按要求解决下列与此命题有关的问题．

(1)请用无刻度的直尺与圆规作出线段（如图）的中点D，再找一点C，使得， 连接，，得到．（保留作图痕迹，不必写出作法）
(2)结合（1）中画出的图形，用符号表示此命题中的已知与求证，并给出证明．
已知：
求证：
证明：

4 . 如图，在钝角中，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点D、E（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点B作交的延长线于点H，连接，求证．请补完图形，并完成下列证明过程：
证明：∵是的垂直平分线（已知）
∴　　①　　，，
∴　　②　　（等腰三角形三线合一）
∵，　　③　　
∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴（　　④　　填写文字依据）
∴．

6 . 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理       线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图13.5．1，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．求证：． 分析   图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．

   
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，已知的周长为20，则的长为__________．
（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，，，则的最小值是__________．

7 . 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上任意一点．
   
求证：
分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

(2)定理应用：如图2，在中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是．
①求的长
   
②点P是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由．

8 . 如图，在中，平分交于点．

(1)用尺规完成以下基本作图：过点作于点，交于点，连接；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：，请根据下列证明思路完成填空：
证明：____________，
．
于点，
（____________）
在和中，
（____________）．
____________
是线段的垂直平分线
（____________）

9 . 已知，如图，．

(1)用尺规完成以下基本作图，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接（不说明理由，不下结论，只保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：．
涵涵的思路是这样：由垂直平分线的性质得到，从而得到，再证明，从而得到，最后由等量代换可得．请根据这个思路补全下面的证明过程．
证明：直线是线段的垂直平分线
①_______，
②_______，
，
，
③_______，
，
④_______，
，
⑤_______，
．