1 . 小明在学习了平行四边形后,对其进行了进一步的研究,发现如果作平行四边形任意一条对角线的垂直平分线,那么这条垂直平分线一定平分这个平行四边形的面积.他的思路是通过全等和图形的拼接得到面积相等.请根据思路完成以下作图与填空:
如图,在平行四边形中,.(1)尺规作图:作对角线的垂直平分线交于点E,交于点F,垂足为O(保留作图痕迹,不写作法,不写结论);
(2)在(1)所作图形中,求证:.
证明:四边形是平行四边形,
∴,,①__________.
垂直平分,②__________.
又③__________,..
又,
.
同理,,.
小明进一步研究发现,过平行四边形对角线中点的直线也有此特征.
请你依照题意完成下面命题:
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________.
如图,在平行四边形中,.(1)尺规作图:作对角线的垂直平分线交于点E,交于点F,垂足为O(保留作图痕迹,不写作法,不写结论);
(2)在(1)所作图形中,求证:.
证明:四边形是平行四边形,
∴,,①__________.
垂直平分,②__________.
又③__________,..
又,
.
同理,,.
小明进一步研究发现,过平行四边形对角线中点的直线也有此特征.
请你依照题意完成下面命题:
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________.
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名校
2 . 同学们在做题时,经常用到“在直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理,下面是两种添加辅助线的证明方法,请你选择一种进行证明.
已知在中,,求证:.
法一:如图1,在上取一点,使得,接.
法二:如图2,延长到,使得,连接.
图1 图2
你选择方法_______
证明:
已知在中,,求证:.
法一:如图1,在上取一点,使得,接.
法二:如图2,延长到,使得,连接.
图1 图2
你选择方法_______
证明:
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2024-03-03更新
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74次组卷
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8卷引用:第11讲 等边三角形的性质与判定定理-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课(浙教版)
(已下线)第11讲 等边三角形的性质与判定定理-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课(浙教版)河南省许昌市禹州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题2023年北京二中教育集团中考一模数学试卷(已下线)专题13 三角形及全等三角形(共35题)-学易金卷:5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(北京专用)(已下线)浙江省金华市婺城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题北京景山学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题(已下线)专题06+全等三角形和特殊三角形(4大易错点分析)2-备战2024年中考数学考试易错题(浙江专用)北京市回民学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题
3 . 教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
定理证明:请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.
定理应用:
(1)如图②,在中,直线、分别是边、的垂直平分线,直线、交于点,过点作于点.求证:.
(2)如图③,在中,,边的垂直平分线交于点,边的垂直平分线交于点.若,,则的长为______.
2.线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,如图,直线是线段的垂直平分线,是上任一点,连接、,将线段沿直线对折,我们发现与完全重合,由此即有:线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等. 已知:如图,,垂足点为,,点是直线的任意一点. 求证:. 分析:图中有两个直角三角形和,只要证明这两个三角形全等,便可证明. 请写出完整的证明过程 |
定理应用:
(1)如图②,在中,直线、分别是边、的垂直平分线,直线、交于点,过点作于点.求证:.
(2)如图③,在中,,边的垂直平分线交于点,边的垂直平分线交于点.若,,则的长为______.
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4 . 如图,已如中,平分.
(1)用尺规完成以下基本作图:作线段的垂直平分线,分别交、、于点、、,连接;(不写作法,保留清晰的作图痕迹)
(2)求证:,请根据下列证明思路完成填空:
证明:平分
①
是线段的垂直平分线,
,
在和中,
(③ ).
④
是线段的垂直平分线,
⑤
.
(1)用尺规完成以下基本作图:作线段的垂直平分线,分别交、、于点、、,连接;(不写作法,保留清晰的作图痕迹)
(2)求证:,请根据下列证明思路完成填空:
证明:平分
①
是线段的垂直平分线,
,
在和中,
(③ ).
④
是线段的垂直平分线,
⑤
.
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5 . 课本再现
定理证明
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图①),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,对角线,垂足为O.
求证:是菱形.定理应用
(2)已知:如图②,,,点E为的中点,且.
求证:四边形是菱形.
思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直,反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. |
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图①),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,对角线,垂足为O.
求证:是菱形.定理应用
(2)已知:如图②,,,点E为的中点,且.
求证:四边形是菱形.
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名校
6 . 在学习了矩形后,小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点,通过倍长中线构造了矩形,然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系.请根据她的思路完成以下作图与填空:(1)已知在中,,用直尺和圆规,作的垂直平分线交于点,垂足为点,连接并延长,在射线上截取,连接、.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)问所作的图形中,求证:.
证明:∵垂直平分,
∴点是的中点.
∴_____.
∵,
∴四边形是平行四边形.
∵_____,
∴四边形是_____.
∴_____.
∵,
∴_____.
(2)在(1)问所作的图形中,求证:.
证明:∵垂直平分,
∴点是的中点.
∴_____.
∵,
∴四边形是平行四边形.
∵_____,
∴四边形是_____.
∴_____.
∵,
∴_____.
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2024-01-14更新
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192次组卷
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4卷引用:专题9.19 矩形(题型分类拓展)-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练(苏科版)
(已下线)专题9.19 矩形(题型分类拓展)-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练(苏科版)重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题重庆市九龙坡区2023-2024学年九年级上学期第二次名校联考数学试题(已下线)中考重点01 尺规作图+补全证明过程(5题型+满分技巧+限时检测)-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练(重庆专用)
7 . 课本再现:
(1)定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知:如图1,在中,,是边上的中线.
求证:.
证明:如图1,延长到点,使得,连接.
……
请把证明过程补充完整.
知识应用:
(2)如图2,在中,是边上的高,是边上的中线,是的中点,连接并延长交于点,连接.求证:.
(1)定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知:如图1,在中,,是边上的中线.
求证:.
证明:如图1,延长到点,使得,连接.
……
请把证明过程补充完整.
知识应用:
(2)如图2,在中,是边上的高,是边上的中线,是的中点,连接并延长交于点,连接.求证:.
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8 . 如图,在中,,平分于点M,交于点G,平分,交于点D,交于点F.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)若,图中是否存在等边三角形?若存在,请写出来并证明;若不存在,请说明理由.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)若,图中是否存在等边三角形?若存在,请写出来并证明;若不存在,请说明理由.
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9 . 如图,已知在中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点.求证:
(1);
(2)猜想线段的数量关系,并进行证明.
(1);
(2)猜想线段的数量关系,并进行证明.
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名校
10 . 教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容.
定理证明:请根据教材中的分析,结合图,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.
定理应用:
(1)如图,在中,直线分别是边的垂直平分线,直线、交于点,过点作于点.求证:.
(2)如图,在中,,边的垂直平分线交于点,边的垂直平分线交于点.若,,则的长为______.
定理证明:请根据教材中的分析,结合图,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.
定理应用:
(1)如图,在中,直线分别是边的垂直平分线,直线、交于点,过点作于点.求证:.
(2)如图,在中,,边的垂直平分线交于点,边的垂直平分线交于点.若,,则的长为______.
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