1 . 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线，使直线．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A，连接；
②作的垂直平分线，分别交直线l，线段于点B，O；
③以O为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点Q；
④作直线，所以直线为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：∵直线是的垂直平分线，
∴___________，．
∵___________，
∴．
∴___________=___________．
∴（___________）（填推理的依据）

2 . 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接，；
②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆；
④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q；
⑤作直线，所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵点A，B，P，Q都在上，，
∴___________，
∴，（___________）（填推理的依据）
∴．

3 . 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，

①在直线l上取点A，连接；
②作线段的垂直平分线，分别交直线l，直线于点B，O；
③以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q；
④作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵线段的垂直平分线交于点O，
∴，（_____________________）（填推理的依据）
又∵，______，
∴，（_____________________）（填推理的依据）
∴，
∴．

4 . 下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：中，．
求作：，使得．
作法：如图，

①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线；
②分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线，和交于点D；
③连接和；以点D为圆心，的长为半径作．所以．
根据小菲设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接
∵和分别为、的垂直平分线，
∴___________．（___________）（填推理的依据）
∴点D是的外接圆的圆心．
∵点C是上的一点，
∴．（___________）（填推理的依据）．

5 . 下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：中，
求作：，使得
作法：①作的垂直平分线；
②作的垂直平分线，交于点；
③连接和；
④以点为圆心，的长为半径作；
所以即为所求作的角

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵和分别为、的垂直平分线
∴_________（___________________________）（填推理的依据）
∴是的外接圆.
∵点是上的一点，
∴（___________________________）（填推理的依据）

6 . 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．
求作：，使得，，边上的中线为b．
作法：如图2，
①作射线，并在射线上截取；
②作线段的垂直平分线，交于D；
③以D为圆心，b为半径作弧，交于A；
④连接和．
则为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形；
(2)完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵为线段的垂直平分线，点A在上，
∴（ ）（填依据）．
又∵线段的垂直平分线交BC于D，
∴      ＝       ．
∴为边上的中线，且．

7 . 如图，AC为矩形ABCD的对角线，．

(1)尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为点O，交AD于点E，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连结AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，．
∵EF平分AC，
∴________．
∴________．
∴________．
又∵，
∴四边形AFCE是________．
又∵，
∴四边形AFCE是菱形．

8 . 乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是乐乐设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
．（_______________）（填推理的依据）
______________________________．
，
，
_______________．
．
．（_______________）（填推理的依据）
和都是等腰三角形．
(3)乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则（_______________）（填写理由）．使用尺规作图在图中补全作图痕迹．

9 . 如图，在中，，作的垂直平分线交于点，交于点，连接．

(1)按要求补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求的长．

10 . 如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点，连接线段．

(1)按照题意用尺规作图的方法补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的度数；