1 . 如图，在中，，作的垂直平分线交于点，交于点，连接．

(1)按要求补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求的长．

2 . 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．

求作：，使得，，BC边上的中线为b．
作法：如图2，

①作射线BM，并在射线BM上截取；
②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于点D；
③以点D为圆心，b为半径作弧，交PQ于点A；
④连接AB和AC．
则为所求作的等腰三角形．
（1）用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴（______）（填推理的依据）．
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，
∴．
∴AD为BC边上的中线．

3 . 数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．

根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝            ，(                                     )（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠            ，(                                  )（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．

5 . 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．

求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴，
∵，∠POQ=∠AOB
∴．
∴．
∴PQ∥l（                       ）（填推理的依据）．

6 . 下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线相切．
作法：如图2，
①在直线上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．

根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝        ，BP＝ ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线相切（             ）（填推理的依据）．

7 . 下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线，使直线直线l．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A，连接；
②作的垂直平分线，分别交直线l，线段于点B，O；
③以O为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点Q；
④作直线，所以直线为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线是的垂直平分线，
∴______＝______，．
∵______＝______，
∴．
∴______＝______．
∴（          ）（填推理的依据）．

8 . 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．

已知：∠AOB
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝________（____________）．
∴∠AOB＝_______（_________）．
∵∠ADC＝∠AOB＋∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．

9 . 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ直线l．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝　 　，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∵OQ＝OB，
∴POQ≌AOB．
∴　 　＝　 　．
∴PQl（　 　）（填推理的依据）．

10 . 如图，在中，，顶点在反比例函数的图象上．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)请用尺规作图画出线段的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接，求的长．