1 . 当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数”，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．
   
下面是小明的探究过程，请你将它补充完整：
(1)如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，设这两个函数图象的交点分别为，则点的坐标为，点的坐标为       ；
(2)点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合），设点的坐，其中且．
结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
得，解得，
则直线的解析式为．令，可得，
则点的坐标为．
②同理可求，直线的解析式为，点的坐标为       ．
③请你继续完成证明的后续过程；
④拓展：若是等边三角形，求点的坐标；
⑤结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．

2 . 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：

(1)________，__________，___________，则它们满足的关系式为____________，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
知识运用：
(2)如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________千米（直接填空）；
(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离．
(4)知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值__________（0＜x＜16）．

3 . （1）列方程解几何题是常用解题方法，如图，中，，比大1，，求的长．
   
解：设为x，则，在中．．
列方程得：_________________，解得：______________．
（2）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合，求的长．
   
（3）如图，在中，，是线段的垂直平分线，垂足为O，，且，，则的长为__________（直接写结果）．
   

4 . 已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程的解，点C的纵坐标恰好是方程 的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点．

(1)求直线BC的解析式；
(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？
(3)如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值

7 . 已知抛物线 a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y₁的部分对应值如下表所示：

x	…	―1	0	3	…
	…	0		0	…

（1）求y₁与x之间的函数关系式；
（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y₂）．
①求y₂与x之间的函数关系式；
②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范围．

8 . 如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b 的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D．

（1）若点D的横坐标为2，求直线BD的解析式和四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若y＝kx+b与函数y＝x+1的图象交点D始终在第三象限，则系数k的取值范围是　                       　．（直接写结果）