1 . 如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴负半轴上，点P在y轴正半轴上，，点C坐标为，点D在上，，以线段，为邻边作矩形．

(1)连接，，，设，
①当时，D点坐标为        ；
②当与相似时，求a的值；
(2)当点D与点C重合时，如图2，点E在线段上，且，在平面内有一动点Q，满足，连接，．
①请直接写出的最大值；
②请直接写出的最小值．

2 . 在矩形中，．

(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证：；
(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；
(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．

3 . 问题背景：
（1）如图1，点是内一点，且，连接，，求证：．
   
（2）如图2，点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，是位于上方的等腰直角三角形，且，则，
   
① ______1（填一个合适的不等号）；
②的最大值为______，此时 ______°．
问题组合与迁移：
（3）如图3，是等腰底边上的高，点是上的一动点，位于的上方，且，若，求的最小值．
   

4 . 康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，．

(1)①在图1中补全图形；
②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形．
请你回答是         三角形；
③利用图1证明这个结论．
(2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P．
①按要求画出图形；
②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）；
③证明②的结论．
(3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________．

5 . 已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点.

(1)当，时，求的长.
(2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
(3)当线段的长取最大值时，的值为__________.