1 . 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则 ______，的周长的最小值为______．

3 . 如图，在等边中，点D是的中点，P是上的动点，E是的中点，则的最小值为______cm．

4 . 如图，，点B是线段上一动点，且，，以为底边作等腰，则的最小值是（     ）

A．1

B．2

C．

D．

5 . 如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为____．

6 . 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________．

   

7 . 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上任意一点．
   
求证：
分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

(2)定理应用：如图2，在中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是．
①求的长
   
②点P是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由．

8 . 如图，在矩形中，，，连接，于点O，分别与、交于点E、F，连接、，则的最小值为______．

   

9 . 如图，等腰的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______．

A．6

B．8

C．13

D．10

10 . 如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，点是边的中点，点是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时，________（用含的代数式表示）．