1 . 数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知
，点
是射线
上的一个定点，在射线
上求作点
在
和
之间），使
．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段
的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接
，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴
，（ ）（填推理的依据）
∴
，
∴
（ ）（填推理的依据）
(3)能否在射线上再求作点
，使
．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使．下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段
的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接
，∵直线l为线段
的垂直平分线，∴
，（ ）（填推理的依据）∴
，∴
（ ）（填推理的依据）(3)能否在射线
上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
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名校
2 . 如图，在等边三角形
的外侧作直线
，点
关于直线的对称点为点，连接
，
，其中交直线于点
．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)若
，
，求的长度．
的外侧作直线，点关于直线的对称点为点，连接，，其中交直线于点．(1)依题意补全图形（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)若
，，求的长度．
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3 . 如图，在
中，
，的垂直平分线交于点，交
于点，
的平分线交于点
，两线交点为点
．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接
，若
，
的周长是
，求的长．
中，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，两线交点为点．(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接
，若，的周长是，求的长．
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4 . 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，
角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证：
．
(2)补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段的垂直平分线
，交于点D，交于点E，连接
．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）
∵直线是线段的垂直平分线，
∴
．（________________________________）（填推理依据）．
∴
．（________________________________）（填推理依据）．
∵
，
∴
．
∵中，
，，
∴
．（________________________________）（填推理依据）．
∴
．
∴
．
∵
，，
∴
．
在
和
中，
，
∴
（________________________________）（填推理依据）．
∴
，
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴
________．
∴．
角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证：
．(2)补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段
的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）∵直线
是线段的垂直平分线，∴
．（________________________________）（填推理依据）．∴
．（________________________________）（填推理依据）．∵
，∴
．∵
中，，，∴
．（________________________________）（填推理依据）．∴
．∴
．∵
，，∴
．在
和中，，∴
（________________________________）（填推理依据）．∴
，∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴
________．∴
．
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5 . 下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．
已知：平行四边形
．
求作：
，垂足为E．
作法：如图所示，
①连接，分别以点A和点C为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线
，交于点O；
③以点O为圆心，
长为半径作圆，交线段于点E（点E不与点C重合），连接．
所以线段就是所求作的高．
根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：
，
________，
点P、Q都在线段的垂直平分线上，
直线为线段的垂直平分线，
O为中点．
为直径，
与线段交于点E，
_______
（ ）（填推理的依据）
．
已知：平行四边形
．求作：
，垂足为E．作法：如图所示，
①连接
，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线
，交于点O；③以点O为圆心，
长为半径作圆，交线段于点E（点E不与点C重合），连接．所以线段
就是所求作的高．根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：
，________，点P、Q都在线段的垂直平分线上，直线为线段的垂直平分线，O为
中点．为直径，与线段交于点E，_______（ ）（填推理的依据）．
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6 . 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，
．
求作：线段
，使得线段将分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边的垂直平分线
，与斜边相交于点；
②连接．
则线段为所求．
(1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
．（ ）（填推理的依据）
．
，
．
．
．
．（ ）（填推理的依据）
和
都是等腰三角形．
已知：在
中，．求作：线段
，使得线段将分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边
的垂直平分线，与斜边相交于点；②连接
．则线段
为所求．(1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：
直线是线段的垂直平分线，点在直线上，．（ ）（填推理的依据） ．， ．．．．（ ）（填推理的依据）和都是等腰三角形．
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名校
7 . 如图，当时，求作直线l上一点P，使
。
小高的做法为：
①作出的外接圆，圆心为M；
②作出线段的垂直平分线
，与
的交点为O；
③以O为圆心，的长为半径画圆，与直线l交点就是使的点P．
老师说小高的做法是正确的．
根据小高设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
，
∵
是的外接圆，又在中，
∴
．
∵是的垂直平分线 ∴
（______）（填写推理的依据），
∴点B也在以O为圆心，以为半径的圆上，
对于， ∴
（______）（填写推理依据）．
时，求作直线l上一点P，使。 小高的做法为：
①作出
的外接圆，圆心为M；②作出线段
的垂直平分线，与的交点为O；③以O为圆心，
的长为半径画圆，与直线l交点就是使的点P．老师说小高的做法是正确的．
根据小高设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接
，，∵
是的外接圆，又在中， ∴．∵
是的垂直平分线 ∴（______）（填写推理的依据），∴点B也在以O为圆心，以
为半径的圆上，对于
， ∴（______）（填写推理依据）．
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8 . 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：
求作：
，使
．
作法：如图，
①在射线上任取一点C；
②作线段
的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接
．
所以即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明（说明：括号里填写依据）：
证明：
是线段的垂直平分线，
________（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．
________．（________________）．
，
．
已知：
求作：
，使．作法：如图，
①在射线
上任取一点C；②作线段
的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．所以
即为所求的角．根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明（说明：括号里填写依据）：
证明：
是线段的垂直平分线，________（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．________．（________________）．，．
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2023-11-02更新
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73次组卷
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3卷引用：北京市海淀区一0一教育集团2023-2024学年八年级上学期期中模拟数学试题
9 . 小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形．
已知：在
中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程，
作法：①作
的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线，则直线就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
∴
．（①__________________）（填推理的依据）
∴
．（②_________）（填推理的依据）
∵，
∴
.
∴
．
∴
．（③_________）（填推理的依据）
∴
和都是等腰三角形．
已知：在
中，．求作：直线
，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程，
作法：①作
的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线，则直线就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线
是线段的垂直平分线，点D在直线上，∴
．（①__________________）（填推理的依据）∴
．（②_________）（填推理的依据）∵
，∴
.∴
．∴
．（③_________）（填推理的依据）∴
和都是等腰三角形．
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2023-11-05更新
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80次组卷
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2卷引用：北京市育英学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
10 . 根据题意，先补全图形，再作答：
如图所示，在中，作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若
，
，证明：
．
（补全图形要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
如图所示，在
中，作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，，证明：．（补全图形要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
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