1 . 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的中线为b
作法：如图2
①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a
②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D
③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A
④连接AB和AC
则△ABC为所求作的图形
根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC=a，AD=b．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴AB=AC（___                                             ）（填依据）
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D
∴BD=CD（___                                             ）（填依据）
∴AD为BC边上的中线，且AD=b

2 . 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
   
(1)要求：用直尺和圆规根据下面的“作法”画出图形（保留作图痕迹）．
已知：如图，线段a和线段b．
求作：使得边上的中线为b．
作法：①作射线并在射线上截取；
②作线段的垂直平分线交于点D；
③以点D为圆心，b为半径作弧交于点A；
④连接和．
则为所求作的等腰三角形．
(2)试说明所作的三角形是符合条件的三角形．

3 . 综合与实践
在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务．

作法：如图1． ①分别作，的垂直平分线，交于点； ②连接，， 结论：沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形 理由：∵点在线段的垂直平分线上， ∴______．（依据） 同理，得 ∴ ∴，，都是等腰三角形．

任务：
(1)上述过程中，横线上的结论为______，括号中的依据为______．
(2)受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．

(3)如图3，在等腰三角形纸片中，，．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）

4 . 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：



根据小芸设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：
证明：连接OA，OB，OC，
由作图可知 OA=OB=OC（                         ）（填推理的依据）
∴⊙O为△ABC的外接圆；
∵点C，P在⊙O上，   
∴∠APB=∠ACB．（                                 ）（填推理的依据）

6 . 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线及直线上一点.
求作：直线，使得.
作法：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线一侧相交于点；
③作直线.
所以直线就是所求作的垂线.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵___________，___________，
∴（__________________）.（填推理的依据）

7 . （1）阅读理解：
我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为，“宽臂”的宽度．这个条件很重要哦勾尺的一边满足三点共线所以．
下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
第一步：画直线使，且这两条平行线的距离等于；
第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点落在上，使勾尺的边经过点，同时让点落在的边上；
第三步：标记此时点和点所在位置，作射线和射线．
请在图中完成第三步操作，图中的三等分线是射线___________ 、___________ ．
（2）在（1）的条件下补全三等分的主要证明过程：
，
．___________ 填写依据,定理文字语言
___________ ___________ ___________ 填写依据
，
．___________ 填写依据
．
（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由：如果不成立，请在图中的外部画出不能使用量角器,简述画法,并保留作图痕迹．
   

8 . 先填空，后作图：

（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在它的______________上；
（2）到线段两端距离相等的点在它的_______________上；
（3）如图，两条公路与是两个村庄，现在要建一个菜市场P，使它到两个村庄的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

9 . 尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交叉的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．

10 . 如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若点的坐标分别是
（1）画出关于轴对称的图形
（2）尺规作图：请在轴上找一点，使它到两点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）