1 . 如图1，中，，，以为直径的恰好经过点，延长至，使得，连接．

(1)求的半径；
(2)求证：；
(3)如图2，在上取点，连接并延长交于点，连接交于点．
①当时，求的值；
②设，，求关于的函数表达式．

2 . 如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（       ）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④

5 . 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．

例如：若△ABC中，∠A＝2∠B，则△ABC为以边AB为底边的倍角三角形．
(1)已知△ABC为倍角三角形，且．
①如图1，若BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段有______，图中相似三角形有______；
②如图2，若AC的中垂线交边BC于点E，连接AE，则图中等腰三角形有______．
问题解决
(2)如图3，现有一块梯形板材ABCD，，∠A＝90°，AB＝48，BC＝132，AD＝68．工人师傅想用这块板材裁出一个△BCP型部件，使得点P在梯形ABCD的边上，且△BCP为以BC为底边的倍角三角形．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①作BC的中垂线l交BC于点E；
②在BC上方的直线l上截取EF＝33，连接CF并延长，交AD于点P；
③连接BP，得△BCP．
1）请问，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？请证明你的想法．
2）是否存在其它满足要求的△BCP？若存在，请画出图形并求出CP的长；若不存在，请说明理由．

8 . 已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．

(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．

9 . 在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．

(1)已知，，
①在点，，中，线段的融合点是______；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
(2)已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．

10 . 康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，．

(1)①在图1中补全图形；
②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形．
请你回答是         三角形；
③利用图1证明这个结论．
(2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P．
①按要求画出图形；
②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）；
③证明②的结论．
(3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________．