1 . 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，

①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．
所以直线CD就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
∴．（       ）（填推理的依据）
∴      ．
∵，
∴，
       ．
∴．
∴．（       ）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．

2 . 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：是的一个内角．
求作：．
小芸的作法如下：如图．①作线段的垂直平分线m；②作线段的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，为半径作圆；④则为的外接圆；⑤在弧上取一点P，连结，，所以．

根据小芸设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接，，；
由作图可知，（①_________），（填推理的依据）
∴，
∴为的外接圆．
∵点C，P在上，，
∴（②_________）．（填推理的依据）

3 . 下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：直线和直线，使切于点，切于点．
作法：如图，
①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；
②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点；
③作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小乐设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵是的直径，
∴________（________）（填推理的依据）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线．

4 . 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接，；
②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆；
④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q；
⑤作直线，所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵点A，B，P，Q都在上，，
∴___________，
∴，（___________）（填推理的依据）
∴．

5 . 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，

①在直线l上取点A，连接；
②作线段的垂直平分线，分别交直线l，直线于点B，O；
③以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q；
④作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵线段的垂直平分线交于点O，
∴，（_____________________）（填推理的依据）
又∵，______，
∴，（_____________________）（填推理的依据）
∴，
∴．

6 . 下面是小明同学设计的“已知两条对角线长作菱形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a．

求作：菱形ABCD，使得对角线，．
作法：如图2，
①作射线AM，并在射线AM上截取；
②作线段AC的垂直平分线PQ，PQ交AC于点O；
③以点O为圆心，a为半径作弧，交PQ于点B，D；
④连接AB，AD，BC，CD．
则四边形ABCD为所求作的菱形．
(1)用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴．
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形（__________________）（填推理的依据）．
又∵，∴是菱形（_________________）（填推理的依据）．

7 . 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．
求作：，使得，，边上的中线为b．
作法：如图2，
①作射线，并在射线上截取；
②作线段的垂直平分线，交于D；
③以D为圆心，b为半径作弧，交于A；
④连接和．
则为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形；
(2)完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵为线段的垂直平分线，点A在上，
∴（ ）（填依据）．
又∵线段的垂直平分线交BC于D，
∴      ＝       ．
∴为边上的中线，且．

8 . 乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是乐乐设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
．（_______________）（填推理的依据）
______________________________．
，
，
_______________．
．
．（_______________）（填推理的依据）
和都是等腰三角形．
(3)乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则（_______________）（填写理由）．使用尺规作图在图中补全作图痕迹．

9 . 如图，在中，，作的垂直平分线交于点，交于点，连接．

(1)按要求补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求的长．

10 . 尺规作图：如图，已知线段a，b．

求作：菱形ABCD，使其一条对角线的长等于线段a的长，边长等于线段b的长．
作法：①作直线m，在m上截取线段；
②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；
③以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)完成下面的证明．
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AB=         ，         =         ，（              ）
∵，
，
∴四边形ABCD是菱形．（                                ）