1 . 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．

【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)．

2 . 综合与探究

(1)【基础巩固】如图1，在中，，．平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，试判断的形状，并说明理由．
(2)【深入探究】如图1，在（1）的条件下，连接，试猜想和的位置关系，并证明你的结论．
(3)【拓展提高】如图2，在（2）的条件下，N是上一点，连接，作，交的延长线于点G，延长到点H，使得 ，连接，试探究和之间的数量关系，并证明你的判断正确．

9 . 【提出问题】
如图1，等腰直角三角形中，，，点D为上一点，将线段绕点D逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系．
【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点D作的垂线与相交于点F（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．
（1）根据小明的思路，补全的证明过程；
（2）直接写出，，之间的数量关系：______；
【拓展思考】
（3）如图3，延长、相交于点M，点N是的中点，若M，D，N三点共线时，求线段的长度．

   

10 . 在学习了《中心对称图形》一章后，小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．

【性质探究】
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有        （填序号）．
①“双直四边形”的对角线不可能相等；
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
【判定探究】
(2)如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，连接，若，证明：四边形为“双直四边形”．
【拓展提升】
(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知，点B在线段上，且，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”且面积最大，若存在，求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由．