1 . 当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数”，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．
   
下面是小明的探究过程，请你将它补充完整：
(1)如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，设这两个函数图象的交点分别为，则点的坐标为，点的坐标为       ；
(2)点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合），设点的坐，其中且．
结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
得，解得，
则直线的解析式为．令，可得，
则点的坐标为．
②同理可求，直线的解析式为，点的坐标为       ．
③请你继续完成证明的后续过程；
④拓展：若是等边三角形，求点的坐标；
⑤结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．

2 . 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：

(1)________，__________，___________，则它们满足的关系式为____________，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
知识运用：
(2)如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________千米（直接填空）；
(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离．
(4)知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值__________（0＜x＜16）．

4 . 如图，在中，，，．

(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若的周长为a，先化简，再求T的值．

7 . 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决

请回答：
(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母）
A．                       B．                       C．                      D．
(2)的取值范围是________．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．