1 . 【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

   
【性质探究】
（1）如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是：                           ；图中、的大小关系是：                         ．
【概念理解】
（2）如图2，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
【应用拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：．

2 . 综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题．
问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角=                时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角的度数；若不能，请说明理由．

3 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．

平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点． 求证：，．

（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：．

（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接．若，的周长是9，则的周长是______．

5 . 如图，四边形中，，.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
   
概念理解
(1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：____________________；
(2)如图1，在中，，垂足为，与关于所在直线对称，与关于所在直线对称，延长，相交于点.请写出图中的“筝形”： ____________________；（写出一个即可）
应用拓展
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接，求证：.
   

6 . 数学活动：利用全等三角形研究“筝形”的特征．
认识图形：如图，四边形中，．像这样，两条邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)研究特征：琪琪猜想筝形的对角与相等，他的结论成立吗？说明理由．


(2)嘉嘉连接筝形的对角线、后发现垂直平分，请你补全图形，并帮她说明理由．


(3)拓展应用：在筝形中，对角线长为8，长为12，请直接写出此筝形的面积．

8 . 综合与实践
在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，折痕为BM，把纸片展平，连接AN，如图①；


(1)折痕BM所在直线是否是线段AN的垂直平分线？请判断图中是什么特殊三角形？请写出解答过程．
(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，求∠GBN的度数．
(3)拓展延伸：
如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接交ST于点O，连接AT；求证：四边形是菱形．

9 . （1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是　 　
（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

10 . 如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，已知，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，，连结，求的长．