1 . 阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单。
运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为：,解方程，可得方程的解为，
(1)问题：方程的解是：       ，       .
(2)拓展：解方程组
(3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点P在上（），小明把一根长为的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处，求的长．

3 . 先阅读下列材料然后作答．

提出问题	该如何化简？
分析问题	形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使这样，， 那么便有
解决问题	解：首先把化为，，这里 由于，|即，， ∴
方法应用	（1）利用上述解决问题的方法化简下列各式： ①； ② （2）在中， ，，求边的长．(结果化成最简)．

4 . 通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．
如图①：在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)           ；
(2)对于，的正对值的取值范围是           ；
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．

5 . 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
   
(1)________．
(2)对于，的正对值的取值范围是________．
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．

6 . 阅读材料：基本不等式当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0，，∴ ≥，∴，当且仅当时，即x=1时，有有最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当>0时，设，则当且仅当=____时，y有最____值为_______；
（2）若＞0，函数，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值．

7 . 阅读材料：各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解．
（1）问题：方程的解是：=0，=______，=_______；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
   

9 . 对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作．已知点，，连接AB．

(1)d（点O，AB）＝           ；
(2)⊙O半径为r，若，直接写出r的取值范围；
(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点．
①当时，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使，直接写出r的范围．

10 . 小星在学习中遇到这样一个问题：如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点E在线段CB上，且EC＝2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长．

小星的探究过程如下：
(1)小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP＝1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为_____cm．但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题．
(2)小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y₁，y₂，并分别对函数y₁，y₂随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值：

x/cm	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0
y1/cm	4.59	3.71	2.91	2.15	1.42	0.71	0
y2/cm	？	2.40	2.16	1.78	1.27	0.68	0

在探究过程中，小星发现当BP＝0时，无需测量可以求出QE的长，此时QE的长约为_____cm（结果精确到0.01．参考数据：≈1.414）．
②利用表格中的数据，小星已经在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出了y₁关于x的函数图象，请你根据上文中y₂和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y₂关于x的函数图象
(3)小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：____，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(4)请结合图象直接写出：当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为____（结果精确到0.1cm）．