3 . 综合与实践
在一次综合实践活动课上，老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点”．
【操作探究】
“求索”小组的实践过程，展示如下：

操作过程：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，折痕为，然后展开铺平；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点，则点为边的三等分点．
证明过程：
连接，如图2，
正方形沿折叠
，
，①____________．
又


由题可知是中点，设，则，
在中，，
可列方程：②____________（方程不要求化简），
解得：③____________，即是边上的三等分点．
【拓展应用】
“励志”小组联想课本折角的方法，探究出了一种折矩形纸片一边的三等分点的方法：
操作过程：
第1步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
第2步：折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段．
第3步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕即为边上的三等分点．
(1)补全“求索”小组的证明过程．①______，②______，③______．
(2)结合“励志”小组的操作过程，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想；
(3)在（2）的条件下，请你判断“励志”小组的操作是否可以得到为边上的三等分点？说明理由．

4 . 在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题．“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形”不复存在（即三顶点共线）．

例：如图1，，矩形的顶点A，B分别在边，上，当B在边上运动时，A随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？
分析：如图1，取的中点E，连接DE、OE，则中，为待求线段，，的长是可求的，即为待求线段的“关联三角形”，在中利用三角形三边关系定理可以得到的不等式，当点O，E，D三点共线时（如图2），“关联三角形”不存在，此时可得到的最值．
(1)根据上面的分析，完成下列填空：
解：如图1，取的中点E，连接DE，OE．
在中，，
在中，，
在中，，即______，
如图2，当点O，E，D三点共线时，_________，
综上所述：，即点D到点O的最大距离是________．
(2)如图3，点P在第一象限，是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________．
(3)如图4，点E，F是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，试求长度的最小值．

7 . 如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为线段CD上的一个动点，点P从D点出发，以每秒4个单位的速度从点D向点C运动，过点P作AC的平行线交AD于点Q，将△PDQ沿PQ折叠，点D落在点E处，连DE、AE，如图2，设运动的时间为t秒.
　 　
(1)观察猜想：①当点P运动时，∠ADE的大小是否发生变化？若发生变化，求sin∠ADE的变化范围；若不发生变化，直接写出sin∠ADE的值.
②在P点运动过程中，线段AE的最小值为          .（直接写出答案）
(2)推理探究：设△PQE与△ACD的重叠部分的面积为S，请你直接写出S与t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.
(3)拓展延伸：延长PE交直线AC于F，交直线BA于G，在运动过程中，当F为EG的中点时（如图3），试求出t的值.

8 . 如图1，抛物线顶点坐标为，抛物线与x轴交于A，B（A左，B右）两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若，N是抛物线上两点，且锐角的正切值不大于，求N点的横坐标的取值范围；
（3）如图2，将抛物线向上平移一个单位得抛物线，直线BD交抛物线于点D，F，过点F的直线交抛物线于另一点E，试说明直线DE恒过一定点．