1 . 勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮在学习完本章知识后，他和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索．请你根据他们的思路完成下列各项内容：
问题解决：如下图中，，分别以其三边向形外作正方形，若，，则______．

变式探究：
（1）如下图，若以的三边向形外作等腰直角三角形，，，则、、之间的关系为______．

（2）如下图，若分别以三边为直径向形外作半圆，则、、之间的关系为______．

拓展应用：如下图，中，，分别以它的三边向形外作平行四边形，交于P，交于N，且，若平行四边形和平行四边形的面积分别为10和8，则平行四边形的面积为______．

2 . 勾股定理的证明：
如图1，在中，．求证：．

   

小丽同学课下探究勾股定理证明方法经历的思考过程：
(1)看到要证明的结论，想到小学学习的正方形的面积计算方法是，受此启发，要证明，于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形，如图2，只需证明_____+____即可；

   

(2)如何将正方形分成两个长方形，使其面积分别等于其余两个正方形的面积呢?此处遇到困难，于是查阅资料，发现欧几里得的《几何原本》中，在图2的基础上作了如图3中的辅助线，小丽尝试理解辅助线是如何想到的．

   

①首先过点C作边的垂线，垂足为点M，交于点N，就实现将正方形分成两个长方形的目的，只需证明， _______；
②要想建立正方形和长方形面积的关系，只能将其分别建立与和的面积关系，易得，_____，而（      ）（填推理依据），于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积，小丽通过体验勾股定理的探索过程，发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题．