1 . 如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．

2 . 如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________．

3 . 如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（            ）

A．2

B．

C．

D．

4 . 【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容．

如图，   在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

【定理证明】

(1)请根据材料内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】
(2)如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是__________．
(3)如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一周，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．

5 . 如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．

6 . （1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．

7 . 如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．

8 . 在正方形中，动点分别从两点同时出发，以相同的速度在直线上移动；
（1）如图①，当分别移动到边的延长线上时，连接和与的关系为_________；

（2）如图②，已知正方形的边长为点和分别从点同时出发，以相同的速度沿方向向终点和运动，连接和，交于点，请你画出点运动路线的草图，试求出线段的最小值．

（3）如图③，在（2）的条件下，求周长的最大值；

9 . 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（       ）

A．2

B．

C．

D．

10 . 如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________．