1 . 阅读与思考
下面是小悦同学的一篇数学周记,请仔细阅读并完成相应的任务.
任务:
(1)小悦周记中得到,的依据是______;
(2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______;
A.公理化思想 B.数形结合思想 C.分类讨论思想
(3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称.
下面是小悦同学的一篇数学周记,请仔细阅读并完成相应的任务.
应用所学知识证明直线对称问题 如图1,在平面直角坐标系中画出函数和的图象,观察这两条直线,我发现它们关于直线对称,如何证明这个结论呢?经过思考我想到了两种方法:设直线和直线交于点,点是直线上除点外的任意一点,设点的坐标为. 方法一:在图1中作点关于直线对称的点,连接交直线于点,则,(依据). 点的纵坐标为. 设点的横坐标为, ... 将代入,得. 点在直线上. 直线和直线关于直线对称. 方法二:如图2,过点作直线的垂线,垂足为,交直线于点. 点的纵坐标为. 将代入,得. .. . 点和点关于直线对称. 直线和直线关于直线对称. |
(1)小悦周记中得到,的依据是______;
(2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______;
A.公理化思想 B.数形结合思想 C.分类讨论思想
(3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称.
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名校
2 . 如图,这是纸飞机的示意图,在折纸的过程中,使得与能够重合.如果,,那么的度数为________ .
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名校
3 . 如图,为内部一点,且,,分别为点关于射线,射线的对称点,当时,则的长为( )
A.10 | B.8 | C.7 | D.6 |
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名校
4 . 如图,以虚线为对称轴,那么“甲”字的对称图形是________ 字.
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2024九年级下·山西·专题练习
5 . 阅读理解:阅读以下内容,完成后面任务:
材料一
“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题.其实,数学史上也有不少相关的故事.如下即为其中较为经典的一则:古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦.他精通数学,物理,聪慧过人.有一天,一位将军向他请教一个问题:如图①,将军从A地骑马出发,要到河边让马饮水,然后再回到B地的马棚,为使马走的路程最短,应该让马在什么地方饮水?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.
如图②,作点B关于直线的对称点,连接与直线交于点P,连接,则的和最小.
理由:如图③,在直线上另取任一点,连接,,,
∵直线是点B,的对称轴,点P,在上,
∴______,______,(依据1______)
∴______.
在中,∵,(依据2______),
∴,即最小.
材料二
说明代数式的几何意义,并求它的最小值.
解:
几何意义:如图④,建立平面直角坐标系,点是x轴上一点,则可以看成点P与点的距离,可以苔成点P与点的距离,所求代数式的值可以看成线段与长度之和,它的最小值就是的最小值.任务一
______,______,
依据1____________________________________
依据2______________________________________
任务二
利用图④中求出的最小值
任务三
求代数式的最小值.
材料一
“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题.其实,数学史上也有不少相关的故事.如下即为其中较为经典的一则:古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦.他精通数学,物理,聪慧过人.有一天,一位将军向他请教一个问题:如图①,将军从A地骑马出发,要到河边让马饮水,然后再回到B地的马棚,为使马走的路程最短,应该让马在什么地方饮水?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.
如图②,作点B关于直线的对称点,连接与直线交于点P,连接,则的和最小.
理由:如图③,在直线上另取任一点,连接,,,
∵直线是点B,的对称轴,点P,在上,
∴______,______,(依据1______)
∴______.
在中,∵,(依据2______),
∴,即最小.
材料二
说明代数式的几何意义,并求它的最小值.
解:
几何意义:如图④,建立平面直角坐标系,点是x轴上一点,则可以看成点P与点的距离,可以苔成点P与点的距离,所求代数式的值可以看成线段与长度之和,它的最小值就是的最小值.任务一
______,______,
依据1____________________________________
依据2______________________________________
任务二
利用图④中求出的最小值
任务三
求代数式的最小值.
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6 . 等边的边长为6,为中线,点E在上运动,点F在边上运动,连接,则的最小值是______ .
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7 . 爱护森林人人有责,如图1,这是山西某中学森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋,木屋为轴对称图形,木屋的相关数据(单位:cm)如图2所示,则屋顶A到地面B的距离为
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8 . 如图,在等腰三角形中,,,是边上的中线,点,分别是,上的动点,连接,.当的值最小时,的度数是( )
A. | B. | C. | D. |
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9 . 综合与探究
如图,在中,,M为线段上一动点(不与B,C重合),过点M作于点P,延长至点N,使,连接.
(1)求的度数;
(2)如图1,当M为的中点时,判断与的位置关系,并说明理由;
(3)如图2,点C关于的对称点为D,连接交于点E,连接,,若,求的度数.(用含的代数式表示)
如图,在中,,M为线段上一动点(不与B,C重合),过点M作于点P,延长至点N,使,连接.
(1)求的度数;
(2)如图1,当M为的中点时,判断与的位置关系,并说明理由;
(3)如图2,点C关于的对称点为D,连接交于点E,连接,,若,求的度数.(用含的代数式表示)
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2024-01-30更新
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28次组卷
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2卷引用:山西省吕梁市兴县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
10 . 如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,的三个顶点都在格点上(每个小正方形的顶点叫格点).
(1)在图中画出关于直线成轴对称的;
(2)求的面积;
(3)在直线上找一点,使的长最短,请在图中标出点的位置.
(1)在图中画出关于直线成轴对称的;
(2)求的面积;
(3)在直线上找一点,使的长最短,请在图中标出点的位置.
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