1 . 【发现问题】
如图1，点P在等边三角形
内，且
，
，求
的长．小明发现，以
为边作等边三角形
，连接
，得到
；由等边三角形的性质，可证
，得
；由已知，可知
的大小，进而可求得的长．
（1）请回答：在图1中，
，
．
【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，
中，
，
，点P在内，且
，
， 
，求
和
的长．
【灵活运用】
（3）如图3，某公园中有一块四边形空地
，连接
．已知
，
， 
米，
米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），求此时种植郁金香的面积．
如图1，点P在等边三角形
内，且，，求的长．小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长．（1）请回答：在图1中，
， ．【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，
中，，，点P在内，且，， ，求和的长．【灵活运用】
（3）如图3，某公园中有一块四边形空地
，连接．已知，， 米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），求此时种植郁金香的面积．
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2 . 如图，
中，
，
，
绕点B顺时针旋转与
重合，点C在x轴上，连接，若反比例函数
与直线仅有一个公共点E．和反比例函数的解析式；
(2)已知
与关于直线对称．
①尺规作图：作；（保留作图痕迹，不写作法．）
②若
与反比例函数交于点F，连接
，求
的面积．
中，，，绕点B顺时针旋转与重合，点C在x轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点E．
和反比例函数的解析式；(2)已知
与关于直线对称．①尺规作图：作
；（保留作图痕迹，不写作法．）②若
与反比例函数交于点F，连接，求的面积．
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3 . 如图，在等腰三角形中， 
，
，将绕点C顺时针旋转
得到
，连接，则
的值为（ ）
中， ，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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4 . 如图1，在
中，
，
，点
，
分别在边，上，
，连接
，，点
，
，
分别为，，的中点．
与
的数量关系是________，位置关系是________；
(2)把
绕点
顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，
，判断
的形状，并说明．
中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点．
与的数量关系是________，位置关系是________；(2)把
绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明．
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5 . 综合与实线
【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形，中，若
或
，我们把这种四边形称为“对补四边形”．那么“对补四边形”都有那些特殊的性质呢？该学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，进行了如下探究．
【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究．
（1）如图1，四边形是“对补四边形”，若
，则
_______．
【观察猜想】该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想．
猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分
，则
和
的数量关系是_______；
猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若
，连接
，则平分_______．
【推理验证】
（2）请你从上述猜想中任选一个，补全后给出证明．
【解决问题】
（3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形中，，
，
，
，且
，则旅游景区的最大面积是_______．
【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形
，中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．那么“对补四边形”都有那些特殊的性质呢？该学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，进行了如下探究．【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究．
（1）如图1，四边形
是“对补四边形”，若，则_______．【观察猜想】该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想．
猜想1：如图2，四边形
是“对补四边形”，若对角线平分，则和的数量关系是_______；猜想2：如图3，四边形
是“对补四边形”，若，连接，则平分_______．【推理验证】
（2）请你从上述猜想中任选一个，补全后给出证明．
【解决问题】
（3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形
中，，，，，且，则旅游景区的最大面积是_______．
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名校
6 . 如图，中，
，
，
，绕点
顺时针旋转得
，当
落在边上时，连接
，取的中点，连接
，则的长度是（ ）
中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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7 . 如图，已知正方形的边长为8，点E在边上，的中点为G，
绕点E顺时针旋转得
，若
，则：
时，的长为________ ；
（2）在x的变化过程中，的最小值是________ ．
的边长为8，点E在边上，的中点为G，绕点E顺时针旋转得，若，则：
时，的长为（2）在x的变化过程中，
的最小值是
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8 . 如图1，正方形中，
，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接
，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到
，连接
，
．
；
(2)如图2，若
，连接
，试判断四边形
的形状，并说明理由；
(3)若直线
与直线
交于点M，当
为直角三角形时，求四边形
的面积．
中，，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，．
；(2)如图2，若
，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；(3)若直线
与直线交于点M，当为直角三角形时，求四边形的面积．
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9 . 如图，在边长为6的等边三角形中，点在边上，且
，点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转
得线段，连接
，当
与的某条边平行时，则线段的长为______ ．
中，点在边上，且，点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为
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，若
，则
