1 . 如图，在中，为线段上一点，线段绕点逆时针旋转能与线段重合，点为与的交点．

(1)若，求线段的长
(2)若为的中点，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论．
(3)设，点在线段上运动，点在线段上运动，运动过程中，当的值最小时，请直接写出的面积；

2 . 如图，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，直线过点A和点C．

(1)求抛物线的解析式：
(2)点P是位于直线上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，分别与x轴、交于点D、E，过点D作交于点F，求的最小值及此时点P的坐标；
(3)在（2）问取得最小值的情况下，将点P向下平移个单位长度得到点，将原抛物线y向左平移1个单位长度得到抛物线y，将直线向右平移9个单位长度得到直线．设抛物线y与直线的交点为点M、N（点M在点N的左边），在y轴上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，点E在矩形边上，将沿翻折，点D恰好落在上的点F处，若，，连接，与交于H点，连接，则点F到的距离为 __________．
   

5 . 如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E．

(1)尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空：
解：，理由如下，如图所示，
，
                ，
为的垂直平分线，
                ，
在和中，，
，
                ，
，

6 . 已知，在平行四边形中，，，E为上一点，连接交于F．

(1)如图1，若点E与点C重合，且，求的长；
(2)如图2，当点E在边上时，过点D作于G，延长交于H，连接．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于M，当M为的中点时，请直接写出与的数量关系．

8 . 在中，，为外一点，连接．

(1)如图，若，，连接交于点，且，求．
(2)如图，，，交于点，垂直平分，且，，分别为，中点，连接，求证：．
(3)如图，若，，将绕着点顺时针旋转得到，连接，，且，求的最小值．

9 . 如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，AD＝6，则BC′的长为________．