1 . 如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为______ ．

2 . 在矩形中，，，点，分别是边和上的动点，且，连接，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为 _________________．

3 . 【发现问题】
某公园在一个扇形草坪的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度与喷出的水与池中心的水平距㐫之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离处达到最高点B，点B距离地面．于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A、点B的坐标，从而得到y与x的函数关系式．
【解决问题】
（1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式．
（2）当喷头绕立柱旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求扇形草坪的面积．（结果用含的式子表示）
（3）现要在扇形内的一块三角形区域地块中建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使G，H分别在，上，在上，设，当x为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？

4 . 已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．

(1)求的度数；
(2)如图，连接、、，点在直线上运动，若和相似，求点的坐标；
(3)点为线段上任意一点（不与、重合），经过三点的圆交直线于点，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点的坐标．

5 . 如图，在四边形中，对角线与相交于点E，若恰为的角平分线，．已知，则的长为 ___________________．

6 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)当时，直接写出点A、B、C、D的坐标：

A        ，B        ，C        ，D        ；

(2)如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．

①用含t的代数式表示f；

②请直接写出f的最大值为：        ．

7 . 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm．

8 . 如图，在正方形中，点E是边上一点，且，过点B作交边于点F．以C为圆心，长为半径画圆，交于点G，连接，交于点H．则（　　）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图：

(1)（1）基本模型：如图1，在中，点为边上一点，点为边上一点，过点作交射线于，且，求与之间的数量关系；
(2)模型应用：为等边三角形，点为边上一点，射线绕点逆时针旋转得到射线，射线与延长线交于，点为边上一点，线段与交于点，若，求，．之间的数量关系；
(3)拓展应用：在（2）的条件下，当，为中点时，将线段绕点旋转得到线段；线段与射线交于点；若到线段的距离为的长度，请直接写出的值．

10 . 【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为      ；      ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．