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1 . 综合与实践
【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形
，E为对角线
上一动点，过点C作垂直于的射线
，点F在射线上，且
，连接
．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：
；
猜想②：
；
猜想③：点E在上运动的过程中，四边形
的面积不变．
（1）上述猜想中正确的有______（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图2，已知矩形，
，
，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．
①请判断线段
与
的数量关系，并说明理由；
②点E在上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段
的长．
【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形
，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：
；猜想②：
；猜想③：点E在
上运动的过程中，四边形的面积不变．（1）上述猜想中正确的有______（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图2，已知矩形
，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．①请判断线段
与的数量关系，并说明理由；②点E在
上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）．【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，点E在对角线
上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．
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2024-02-20更新
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119次组卷
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2卷引用：河南省郑州市实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
2 . 问题发现】
（1）若四边形是菱形，
，点P是射线
上一动点．
为边向右侧作等边
，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接
，则
与
有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰
，其中
，
，如图2．当点P在对角线上：
①求证：点E在
边所在直线上；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，
，当P是对角线的延长线上一动点时，连接
，若
，求
的面积及的长．
（1）若四边形
是菱形，，点P是射线上一动点．为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】
（2）若四边形
是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2．当点P在对角线上： ①求证：点E在
边所在直线上；②探究
与之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形
中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积及的长．
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3 . 综合与探究
(1)【学习】如图1，
，
，
于点C，
于点E．由
，得
；又
，可以通过推理得到
．进而得到
，
．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．(2)【应用】如图2，点B，P，D都在直线
上，并且
．若
，
，
，用含
的式子表示
的长；(3)【拓展】在
中，点D，E分别是边
，上的点，连接
，
，
，
，
．若
为直角三角形，求的长；
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4 . 已知点
为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转
，连接
．和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是______；
(2)类比探究：如图2所示，若
，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3所示，若
，
，
，
，当点
三点共线时，请直接写出的长．
为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接．
和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是______；(2)类比探究：如图2所示，若
，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3所示，若
，，，，当点三点共线时，请直接写出的长．
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2024-02-09更新
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72次组卷
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2卷引用：河南省鹤壁市2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题
5 . 如图①，在正方形中，
，在上取一点
，使得
，以为边作正方形
，连接，．
（1）
的值是______；直线，所夹锐角的度数是______．
拓展探究：
（2）如图②，正方形绕点
顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由；
解决问题：
（3）在旋转过程中，当点到直线
的距离为
时，请直接写出的长．
中，，在上取一点，使得，以为边作正方形，连接，．
（1）
的值是______；直线，所夹锐角的度数是______．拓展探究：
（2）如图②，正方形
绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由；解决问题：
（3）在旋转过程中，当点
到直线的距离为时，请直接写出的长．
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2024-02-08更新
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71次组卷
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2卷引用：河南省开封市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
6 . （1）问题发现，如图1，在
中，
，点
是边上一动点（不与点
重合），
，连接．
的值；
②求
的度数．
(2)拓展探究，如图2，在中，
．点是边上一动点（不与点重合），，连接，请判断与
的数量关系以及
与之间的数量关系，并说明理由．
中，，点是边上一动点（不与点重合），，连接．
的值；②求
的度数．(2)拓展探究，如图2，在
中，．点是边上一动点（不与点重合），，连接，请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．
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2023-09-20更新
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183次组卷
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5卷引用：陕西省榆林市神木市大柳塔第一实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
陕西省榆林市神木市大柳塔第一实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题16相似三角形的性质（3个知识点4种题型1个中考考点）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）（已下线）专题4.51 相似三角形动点问题（分层练习）（综合练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）专题06 相似图形与相似三角形（十一种考法）-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）（已下线）专题10相似三角形的性质（2个知识点4种题型）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）
7 . 体验：如图
，在四边形中，
，
，点
在边上，当
时，可知
______ 
不要求证明
．
探究：如图
，在四边形中，点在上，当
时，求证：∽
．
拓展：如图
，在中，点是边的中点，点
、分别在边、上，若
，
，
，求的长．
，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．探究：如图
，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．拓展：如图
，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
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2023-11-24更新
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60次组卷
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7卷引用：河南省南阳市唐河县2018-2019学年九年级上学期期中数学试题
8 . 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将
逆时针旋转
，得到
，连接
，，分别交于点E，F．
操作发现
（1）当
时，
的度数为_______，
的度数为_______．
数学思考
（2）连接
，当为中点时，求证：
；
拓展应用
（3）若，
是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．
问题提出
如图，正方形
中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点E，F．操作发现
（1）当
时，的度数为_______，的度数为_______．数学思考
（2）连接
，当为中点时，求证：；拓展应用
（3）若
，是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．
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9 . 综合与实践
| 探究主题 | 直角三角板与圆 |
| 探究背景 | 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于 ”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况(如图1)，具体研究如图1． |
| 探究任务1 | 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：______． |
| 探究任务2 | 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为 ．如图，若 ，则 ，研究小组对提出的结论进行证明：证：如图 ，连接   ，  ，又  ，   ．   ．探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于  ，根据作图写出结论：=______． |
| 探究任务3 | 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角 并反向延长两边交圆于，两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明．你的猜想：______．(可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述) 证明：… |
| 探究任务4 | 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦 ， ， ， ，求圆的直径．比赛评分标准如表： |
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10 . （1）如图1，已知正方形在直线
的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形．
【初步探究】①与
的关系为_______________；
【深入探究】②连接
，观察并猜测
的度数，并说明理由；
【衍生拓展】（2）如图2，将图1中的正方形改为矩形，
，
（
，
为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点
恰好落在射线上．判断当点由向运动时，的大小是否总保持不变？若的大小不变，请用含，的代数式表示
的值；若的大小发生改变，请举例说明．
在直线的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形．【初步探究】①
与的关系为_______________；【深入探究】②连接
，观察并猜测的度数，并说明理由；【衍生拓展】（2）如图2，将图1中的正方形
改为矩形，，（，为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上．判断当点由向运动时，的大小是否总保持不变？若的大小不变，请用含，的代数式表示的值；若的大小发生改变，请举例说明．
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