1 . 【思考尝试】
（1）如图1，在矩形
中，
是边
上一点，
于点
，
，
，
，求证：四边形是正方形；
【实践探究】
（2）如图2，在正方形中，是边上一点，于点，
于点
，交HA的延长线于点
，求线段
的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点
在线段
上，且
，连接
，
，
．
①求证：
；
②直接写出线段
，的数量关系．
（1）如图1，在矩形
中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形是正方形；【实践探究】
（2）如图2，在正方形
中，是边上一点，于点，于点，交HA的延长线于点，求线段的数量关系；【拓展迁移】
（3）如图3，在正方形
中，是边上一点，于点，点在线段上，且，连接，，．①求证：
；②直接写出线段
，的数量关系．
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2 . 某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形
和
按如图1摆放，连接
延长
交
于点F，连接
，保持不动，将绕点A旋转．
，重合时，请直接写出
之间的数量关系：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，
．连接
延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由．
【推广应用】（4）如图4，在
中，若
．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______；
和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．
，重合时，请直接写出之间的数量关系：______；【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当
和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由．【推广应用】（4）如图4，在
中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______；
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2023-11-20更新
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134次组卷
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2卷引用：湖北省省直辖县级行政单位潜江市初中12校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
3 . 已知和
均为等腰三角形，
，
，
，点
、
分别为、
的中点，连接
、
、
、
．
【猜想】如图①，当点在上时，线段和的大小关系是______；
【探究】如图②，把绕着点
旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？说明理由；
【拓展】如图③，和均为直角三角形，，且
，
，
，点、分别为、的中点，连接、，当
时，
的面积是______．
和均为等腰三角形，，，，点、分别为、的中点，连接、、、．【猜想】如图①，当点
在上时，线段和的大小关系是______；【探究】如图②，把
绕着点旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？说明理由；【拓展】如图③，
和均为直角三角形，，且，，，点、分别为、的中点，连接、，当时，的面积是______．
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4 . 【问题背景】
如图，菱形的对角线相交于点
，点是的中点．菱形
与菱形全等，
．点和点
分别是与
以及
与
的交点．当菱形绕点旋转时，且点始终在线段
上，两个菱形重叠部分的面积总等于一个菱形面积的
．
已知菱形的对角线相交于点O，
．等边
边
、
分别与菱形的边、相交于点M、N．的顶点与点重合，求证：
．
(2)数学兴趣小组对上面的问题进行了拓展探究，如图2，将图1中的沿
方向平移至如图所示位置，若
（
为常数）请描述
与
的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长
交边
于点，连接
，若
，且
，求的值．
如图，菱形
的对角线相交于点，点是的中点．菱形与菱形全等，．点和点分别是与以及与的交点．当菱形绕点旋转时，且点始终在线段上，两个菱形重叠部分的面积总等于一个菱形面积的．
已知菱形
的对角线相交于点O，．等边边、分别与菱形的边、相交于点M、N．
的顶点与点重合，求证：．(2)数学兴趣小组对上面的问题进行了拓展探究，如图2，将图1中的
沿方向平移至如图所示位置，若（为常数）请描述与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．(3)如图3，在（2）的条件下，延长
交边于点，连接，若，且，求的值．
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5 . 【问题发现】
（1）如图①，正方形
的两边分别在正方形的边和
上，连接
，则
的度数为______
；
【问题探究】
（2）将图①中的正方形绕点
逆时针旋转
，如图②，在旋转的过程中，
的值是否为定值，若是定值，请求出这个值，若不是，请说明理由；
【问题拓展】
（3）如图③，是正方形
的对角线，是等腰直角三角形，
为的中点．若点在线段上运动，连接
，则在点的运动过程中，求线段长的最小值．
（1）如图①，正方形
的两边分别在正方形的边和上，连接，则的度数为______；【问题探究】
（2）将图①中的正方形
绕点逆时针旋转，如图②，在旋转的过程中，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值，若不是，请说明理由；【问题拓展】
（3）如图③，
是正方形的对角线，是等腰直角三角形，为的中点．若点在线段上运动，连接，则在点的运动过程中，求线段长的最小值．
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6 . 综合与实践
已知在
中，
，
，
，为上一点，过点作射线
，分别交
于点
．
(1)观察判断：当为的中点，且
，
时，如图
，
______．
(2)类比探究：若为的中点，将
绕点旋转到图2位置时，对比（），
的值是否保持不变？请说明理由．
(3)拓展应用：若改变点的位置，且
时，如图
，直接写出的值（用含
的式子表示）
已知在
中，，，，为上一点，过点作射线，分别交于点．(1)观察判断：当
为的中点，且，时，如图，______．(2)类比探究：若
为的中点，将绕点旋转到图2位置时，对比（），的值是否保持不变？请说明理由．(3)拓展应用：若改变点
的位置，且时，如图，直接写出的值（用含的式子表示）
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7 . 下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．
如图，已知在矩形中，
，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿
折叠，使点B落在点F处，交于点H．
(1)观察发现
写出图1中一个与
相似的三角形： ．
(2)迁移探究
当与的交点H恰好是的中点时，如图2．
①设
，请判断
的数量关系，并说明理由；
②求阴影部分的面积．
(3)拓展应用
当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出
的长．
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2023-11-02更新
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165次组卷
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2卷引用：广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
8 . 【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形中，
，
分别交
于点E、F，
分别交
于点G、H，求证：
；
【结论应用】
（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若
，求折痕的长；
【拓展运用】
（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形
，若
，求的长．
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形
中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；【结论应用】
（2）如图②，将矩形
沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；【拓展运用】
（3）如图③，将矩形
沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．
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2023-10-31更新
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148次组卷
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3卷引用：江苏省扬州市梅岭中学教育集团2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题
9 . 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．
如图1，在四边形中，点为上一点，
，求证：
．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当
时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，
，
，以点为直角顶点作等腰
，点在上，点在上，点在上，且
，若
，求的长．
如图1，在四边形
中，点为上一点，，求证：．【思考探究】
（2）如图2，在四边形
中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在
中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．
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名校
10 . 【问题情境】：
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形
，连接
，则
与的数量关系是______．
【类比探究】：
（2）如图2，四边形是矩形，
，
，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且
，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由：
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求
的最小值．
（1）如图1，四边形
是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．【类比探究】：
（2）如图2，四边形
是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由：【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，求的最小值．
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2023-12-28更新
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185次组卷
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7卷引用：广东省佛山市南海区里水镇2022—2023学年九年级上学期第二次月考数学试题
